"Чистая"
и прикладная математика

Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе - квадратный корень из многочлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .

Формула для нахождения первого из них:

  (2)

Второй интеграл находится по формуле

  (3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

а при a < 0 – вид

После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

(тогда dt = dx), имеем

причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделяя полный квадрат, получаем

После замены переменной t = x + 1 (тогда dt = dx) и применения формулы (2) получим


Рассмотрим интеграл вида

где - рациональная функция от и , а - натуральное число. С помощью замены переменной нахождение такого интеграла сводится к интегрированию дробно-рациональной функции от t . Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями, то следует произвести такую же замену переменной, где за n нужно принять наименьшее общее кратное всех этих показателей.

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому произведём замену переменной

(тогда

откуда

 

Следовательно,


Возвращаясь к первоначальной переменной, получим


Рассмотрим интеграл вида

где - рациональная функция от x и , а n - натуральное число. С помощью замены переменной

нахождение такого интеграла сводится к интегрированию дробно-рациональной функции.

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

.

Решение. Пусть , откуда . Тогда , , а . Поэтому

Начало темы "Интеграл"
Продолжение темы "Интеграл"