Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое - в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.
В подынтегральном выражении - различные дробно-рациональные функции
Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида
,
где λ, ... μ - рациональные числа (целые или дробные).
В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом - не по корнем. То есть корни отдельно, степени - отдельно.
В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ, ... μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n. Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:
Тогда каждая дробная степень "икса" выразится через целую степень "тэ" и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от "тэ".
Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении - все, которые там находим:
.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.
Поэтому используем следующую подстановку:
Подставляем и преобразуем:
Начинаем интегрировать:
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Решение. Используем следующую подстановку:
Подставляем и преобразуем:
Интегрируем и получаем:
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера
Если дан интеграл иррациональной функции вида
,
то есть в подынтегральном выражении - корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.
Начинать нужно с разложения квадратного трёхчлена на множители:
,
где x1, x2 - корни квадратного уравнения.
В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.
1. Если x1, x2 - действительные числа (не комплексные), то используется подстановка
(первая подстановка Эйлера).
2. Если x1, x2 - комплексные числа и a > 0, то используется подстановка
(вторая подстановка Эйлера).
3. Если x1, x2 - комплексные числа и c > 0, то используется подстановка
(третья подстановка Эйлера).
Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Используем первую подстановку Эйлера:
Подставляем:
Интегрируем и получаем:
Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Используем вторую подстановку Эйлера:
Подставляем:
Интегрируем и получаем:
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции
.
(использовать третью подстановку Эйлера).
Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева
Интегралы вида
,
где m, n, p - рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.
Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.
1. Если p - целое число, то используется подстановка
,
где k - наименьшее общее кратное знаменателей m и n.
2. Если -
целое число, то используется подстановка
,
где s - знаменатель дроби p.
3. Если -
целое число, то используется подстановка
,
где s - знаменатель дроби p.
Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:
Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку
:
.
Теперь сделаем следующую подстановку:
Подставляем и получаем:
Возвращаемся к переменной z:
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:
.
Здесь m = 3, n = 2,
,
(целое число).
Cделаем промежуточную подстановку
:
.
Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:
Подставляем:
.
Интегрируем и получаем:
.
Возвращаемся к переменной z:
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Подсказка:
-
целое число.
Частный случай квадратичных иррациональностей
Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида
, (1)
где в знаменателе - квадратный корень из квадратного трёхчлена.
Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы
и
.
Формула для нахождения первого из них:
(2)
Второй интеграл находится по формуле
(3)
Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид
а при a < 0 – вид
После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).
Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции
Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
Произведя теперь подстановку
(тогда dt = dx), имеем
причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |