Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов
Алгоритм интегрирования рациональных функций
Рациональная функция - это дробь вида ,
числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Из урока "Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей" известно, что рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
На этом уроке будем учиться интегрировать такие рациональные функции, которые представлены в виде правильных дробей. Для этого существует метод неопределённых коэффициентов, основанный на теореме, которая гласит, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей.
Приведённый ниже алгоритм интегирования рациональных функций будет пошагово проиллюстрирован в примерах.
Алгоритм интегрирования рациональных функций
- Шаг 1. Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых - неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
- Шаг 2. Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
- Шаг 3. Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.
Переходим к первому шагу алгоритма
Шаг 1: разложение исходной дроби
Многочлен в знаменателе имеет действительные корни.
То есть, в знаменателе имеет место цепочка сомножителей вида
, в которой
каждый из сомножителей находится в первой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых
коэффициентов будет следующим:
Пример 1. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
От нас требуется разложить подынтегральное выражение - правильную дробь
на простые дроби.
Решение. Дискриминант уравнения
положительный, поэтому многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Получаем следующее разложение
исходной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2. Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители. Сначала можно вынести за скобки x. (На сайте есть урок о вынесении общего множителя за скобки.) Получаем следующую дробь:
.
Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:
Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении:
.
Дискриминант решённого выше квадратного уравнения положительный, то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Разложение исходной дроби подынтегрального выражения будет следующим:
.
Как и в первом примере, числа, обозначенные большими буквами, пока неизвестны. Отсюда и название - метод неопределённых коэффициентов.
Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни.
Этот случай имеет место, когда в цепочке сомножителей в знаменателе присутствует выражение вида
,
то есть один из многочленов в степени 2 и больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
Пример 3. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Представляем разность квадратов
в виде произведения суммы и разности
.
Тогда подынтегральное выражение запишется в виде
,
все уравнения с многочленами которого имеют действительные корни. Это случай кратных действительных корней, так как последний сомножитель находится во второй степени. Получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Как видим, в этом случае нужно понижать степень кратного многочлена с исходной до первой и записывать простую дробь с каждой из этих степеней в знаменатель.
Пример 4. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Уравнения с многочленами в знаменателе имеют действительные корни, а сами многочлены присутствуют в степенях больше первой. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
.
Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения
, присутствующего в
цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля.
В этом случае при разложении дроби в простой дроби, соответствующей описанному выше сомножителю, в
числителе нужно записывать линейное выражение с переменной x (это выражение - последнее в следующей записи):
Пример 5. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Уравнение в скобках имеет комплексные корни, а оба сомножителя присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
.
Пример 6. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Представим знаменатель дроби в подынтегральном выражении в виде следующего произведения сомножителей:
.
Решение. Уравнение с последним сомножителем имеет комплексные корни, а все сомножители присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни:
дискриминант квадратного уравнения
, присутствующего в
цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше.
В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
То есть в сумме простых дробей число простых дробей с линейным выражением в числителе должно быть равно степени сомножителя, имеющего комплексные корни.
Пример 7. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Квадратный трёхчлен имеет
комплексные корни и присутствует в знаменателе подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
.
Пример 8. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Квадратный трёхчлен в знаменателе имеет комплексные корни и присутствует в подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
.
Шаг 2: нахождение неопределённых коэффициентов
На первом шаге мы представили подынтегральные дроби в виде суммы дробей с неопределёнными коэффициентами. В начале этого шага потребуется привести полученную сумму дробей к общему знаменателю. После этого в их числителях будут произведения неопределённых коэффициентов на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях.
Полученное таким образом выражение приравнивается к числителю исходной дроби. Затем составляется система из уравнений, в которых степени икса одинаковы. Путём решения системы и находятся неопределённые коэффициенты. Для решения достаточно знать, как системы уравнений решаются методом подстановки и методом сложения.
Пример 1. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:
.
Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:
.
В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:
.
Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
.
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:
Решаем полученную систему:
Итак, , отсюда
получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:
Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем:
Можно заметить, что если принять за значение икса единицу, то второе и третье
слагаемые в правой части равенства обратятся в нули и нет необходимости их вычислять. Тогда получаем,
что .
Далее по уже отработанной схеме получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Шаг 3: нахождение интеграла исходной функции (дроби)
Полученные простые дроби и интегировать проще. К исходной сумме дробей применяется правило интеграла суммы (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные интегралы. Чаще всего требуется применять табличные интегралы, приводящие к натуральному логарифму и арктангенсу.
Пример 1. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Интегрируем изначальную рациональную функцию как сумму дробей и используем табличный интеграл 10, приводящий к натуральному логарифму:
Последнее действие с натуральным логарифмом - приведение к единому выражению под логарифмом - может требоваться при выполнении работ, но требуется не всегда.
Пример 2. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Вновь применяем табличный интеграл, приводящий к натуральному логарифму:
Пример 3. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной простой дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:
Пример 4. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:
Пример 5. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Интегрируем и получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:
Пример 6. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Опять получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:
Пример 7. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Интегрируя, получаем натуральные логарифмы и дробь:
Приведение к единому логарифму попробуйте выполнить самостоятельно.
Пример 8. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Интегрируя, получаем сумму натурального логарифма, арктангенса и дроби:
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |