"Чистая"
и прикладная математика

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Подготовиться к интегрированию дробей самостоятельно, а затем посмотреть ответ.

Пример 0. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби следующие дроби:

1) ;

2) .

Посмотреть ответ.


Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

        (1)

       (2)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

       (3)


Пример 1. Найти интеграл дроби

Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Используя приведённое выше её представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, а также формулу (3), последовательно получим


Любой интеграл вида (2) сводится к нахождению одного или двух следующих интегралов:

      (4)

Поэтому рассмотрим эти интегралы. Первый из них находится по формуле (3) при a = 1.

А теперь формулы для вычисления остальных приведённых интегралов.

      (5)

     (6)

      (7)

      (8)

      (9)

Формулы (5)-(9) можно условно считать табличными интегралами. С их помощью можно найти любой интеграл вида (2). Предварительно такой интеграл приводят к интегралам группы (4). Для этого в знаменателе подынтегральной функции выделяют полный квадрат (это делается при помощи формул сокращённого умножения и ) и представляют его в одном из следующих видов:

или

где m > 0 и n > 0.

В первых двух случаях замена переменной

в третьем непосредственное применение метода разложения приведёт к одному или двум интегралам группы (4).

Пример 2. Найти интеграл дроби

Решение. Результат применения формулы (5) при a = 8:

Пример 3. Найти интеграл дроби

Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

а затем произведём замену переменной t = x + 3 (тогда dt = dx). В результате этого:

,

то есть получили табличный интеграл. Применяем формулу 5):

,

откуда, возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

.

Пример 4. Найти интеграл дроби

Решение. Выделяя в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получаем

Произведём теперь замену переменной t = x - 3 (или x = t + 3; тогда dx = dt). Поэтому

Результат применения формул (8) и (5) при a = 1:

Возвращаясь к "старой" переменной, окончательно получим

.

Пример 5. Найти интеграл дроби

Решение. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности:

.

Поэтому

.

Применяя далее формулы (7) и (6), найдём

Пример 6. Найти интеграл дроби

.

Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

Произведём замену переменной t = x - 4 (или x = t + 4; тогда dx = dt):

Результат применения форумул (8) и (9):

.

Возвращаясь к "старой" переменной, окончательно получим

.

Начало темы "Интеграл"
Продолжение темы "Интеграл"