Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.
У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
Например, неправильную дробь
можно представить в виде
Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.
Подготовиться к интегрированию дробей самостоятельно, а затем посмотреть ответ.
Пример 0. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби следующие дроби:
1) 
;
2) 
.
Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:
(1)
(2)
При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:
(3)
Кроме того, на нашем сайте есть материал Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 1. Найти интеграл дроби
Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Используя приведённое выше её представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, а также формулу (3), последовательно получим
Любой интеграл вида (2) сводится к нахождению одного или двух следующих интегралов:
(4)
Поэтому рассмотрим эти интегралы. Первый из них находится по формуле (3) при a = 1.
А теперь формулы для вычисления остальных приведённых интегралов.
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Формулы (5)-(9) можно условно считать табличными интегралами. С их помощью можно найти любой интеграл вида (2). Предварительно такой интеграл приводят к интегралам группы (4).
Для этого в знаменателе подынтегральной функции выделяют полный квадрат (это делается при помощи формул
сокращённого умножения 
и 
) и представляют его в одном из следующих видов:
или
где m > 0 и n > 0.
В первых двух случаях замена переменной
в третьем непосредственное применение метода разложения приведёт к одному или двум интегралам группы (4).
Пример 2. Найти интеграл дроби
Решение. Результат применения формулы (5) при a = 8:
Пример 3. Найти интеграл дроби
Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:
а затем произведём замену переменной t = x + 3 (тогда dt = dx). В результате этого:
,
то есть получили табличный интеграл. Применяем формулу 5):
,
откуда, возвращаясь к старой переменной, окончательно получим
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 4. Найти интеграл дроби
Решение. Выделяя в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получаем
Произведём теперь замену переменной t = x - 3 (или x = t + 3; тогда dx = dt). Поэтому
Результат применения формул (8) и (5) при a = 1:
Возвращаясь к "старой" переменной, окончательно получим
.
Пример 5. Найти интеграл дроби
Решение. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности:
.
Поэтому
.
Применяя далее формулы (7) и (6), найдём
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 6. Найти интеграл дроби
.
Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:
Произведём замену переменной t = x - 4 (или x = t + 4; тогда dx = dt):
Результат применения форумул (8) и (9):
.
Возвращаясь к "старой" переменной, окончательно получим
.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
