"Чистая"
и прикладная математика

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d - просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала - получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент ("внутренняя" функция исходной сложной функции, например, , , и т. п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

,

где - "внешняя" функция, а - "внутренняя" функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Пример 1.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Пример 2.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

.

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Пример 3.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Пример 4.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию - минус икс в квадрате. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Пример 5.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию - логарифм икса. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12:

.

Пример 6.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию - ту, что в знаменателе. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

.

Пример 7.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

.

Пример 8.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Начало темы "Интеграл"
Продолжение темы "Интеграл"

Поделиться с друзьями