"Чистая"
и прикладная математика

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Как найти неопределённый интеграл: объяснение на примерах

Найти неопределённый интеграл ("антипроизводную") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Учиться находить неопределённый интеграл будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

(1)

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(2)

Кроме того, для нахождения неопределённого интеграла может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

(3)

Для старта достаточно, если не считать таблицы неопределённых интегралов, которая также доступна по вышеприведённой ссылке и упоминания формул которой в примерах будут постоянно.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл ("антипроизводную")

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в знаменателе.

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство неопределённого интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Получаем:

.

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значить, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем следующий неопределённый интеграл:

.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство неопределённого интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Применяем формулу 7 из таблицы неопределённых интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

.

Сокращаем получившиеся дроби и окончательно получаем:

.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который вычисляется как сумма интегралов

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах неопределённого интеграла, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, имеем

где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда в знаменателе дроби одночлен.

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почлено разделить числитель на знаменатель. Получим сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и затем окончательно получаем:

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда сначала нужно преобразовать подынтегральную функцию

Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию. Возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, получим

(мы применили обе нужные нам на этом уроке теоремы о свойствах неопределённого интеграла). Все полученные интегралы – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3, найдём

Пример 6. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который можно преобразовать к сумме интегралов.

Решение. В подынтегральном выражении нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

.

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции и окончательно получаем:

.

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Решение. В подынтегральном выражении - многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и окончательно получаем:

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции, где синус в квадрате, умноженный на косинус в квадрате в знаменателе

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Тогда



Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Найти неопределённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Посмотреть ответ и правильное решение.

Пример 10. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Посмотреть ответ и правильное решение.

Всё по теме "Интеграл"

Поделиться с друзьями