"Чистая"
и прикладная математика

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Что нужно знать, чтобы найти неопределённый интеграл

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F(x) + С для функции f(x) учитывает константу интегрирования C. По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, нахождение неопределённого интеграла - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс нахождения неопределённого интеграла значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики нахождения неопределённого интеграла нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить неопределённый интеграл будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

(1)

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(2)

Кроме того, для нахождения неопределённого интеграла может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

(3)

Поскольку этот урок - вводный в нахождение неопределённого интеграла, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".

Первая вещь, которой не следует удивляться при нахождении неопределённого интеграла. В таблице неопределённых интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной. Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при нахождении неопределённого интеграла. Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких неопределённых интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники нахождения неопределённых интегралов пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числитете дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице неопределённых интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл ("антипроизводную")

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в знаменателе.

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство неопределённого интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

.

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательный неопределённый интеграл:

.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство неопределённого интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Применяем формулу 7 из таблицы неопределённых интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

.

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который вычисляется как сумма интегралов

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах неопределённого интеграла, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда в знаменателе дроби одночлен.

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почлено разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Найти неопределённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Посмотреть ответ и правильное решение.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Посмотреть ответ и правильное решение.

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда сначала нужно преобразовать подынтегральную функцию

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов:

(мы применили обе нужные нам на этом уроке теоремы о свойствах неопределённого интеграла). Все полученные интегралы – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3 и за последним знаком равенства - требуемый неопределённый интеграл.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который можно преобразовать к сумме интегралов.

Решение. В подынтегральном выражении нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

.

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции, и окончательный ответ:

.

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Решение. В подынтегральном выражении - многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и перед нами - окончательный ответ:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции, где синус в квадрате, умноженный на косинус в квадрате в знаменателе

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Тогда



Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Всё по теме "Интеграл"

Поделиться с друзьями