"Чистая"
и прикладная математика

НЕРАВЕНСТВА: ИХ СВОЙСТВА И РЕШЕНИЕ

Основные свойства неравенств

1. Если a>b, то b<a.

2. Если a>b и b>c, то a>c (свойство транзитивности).

3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, то есть если a>b, то a+c>b+c.

4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, то есть если a+b>c, то a−c>−b.

5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если a>b, то 5a>5b.

6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если a>b, то a⋅(−1)<b⋅(−1), то есть a<−b.

7. Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичные правила можно применить и к делению. Например, если a>b, то и .

Действия с неравенствами

1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Например,

или

2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание. Например,

3. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать. Например, если a>b>0 и c>d>0, то ac>bd.

4. Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Например, если a>b, то , где a>0, b>0, kN.

Верно и обратное утверждение: если , a>0, b>0, kN, то a>b.

Неравенства, содержащие переменную

1. Решение неравенств основано на их свойствах.

2. Если к обеим частям неравенства f1(x)>f2(x) прибавить (или вычесть) одну и ту же функцию φ(x), область определения которой принадлежит области определения данного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному. (Область определения неравенства - пересечение множеств, на которых определена каждая из функций f1 и f2, входящих в неравенство.)

3. Любое слагаемое, определённое для всех значений переменной, можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

4. Если обе части неравенства f1(x)>f2(x) умножить (или разделить) на одну и ту же функцию φ(x), определённую для всех значений переменной x из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при φ(x)>0, получится неравенство, равносильное данному, а при φ(x)<0 равносильным данному является неравенство протиположного смысла.

Caliber [DOI] RU+CIS

Решение линейных и квадратных неравенств

1. Линейным неравенством называется неравенство вида ax+b>0 (или ax+b<0). Если a>0, то неравенство ax+b>0 равносильно неравенству . Если a<0, то неравенство ax+b>0 равносильно неравенству .

2. Квадратным неравенством называется неравенство вида ax²+bx+c>0 (или ax²+bx+c<0), где a≠0.

3. Решить неравенство, содержащее переменную, - значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

4. Два неравенства называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Пусть требуется решить неравенство ax²+bx+c>0. В зависимости от знака дискриминанта D=b²−4ac могут представиться три случая.

1) Если D<0, то график квадратного трёхчлена f(x)=ax²+bx+c не пересекает ось Ox и лежит выше этой оси при a>0 и ниже её при a<0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

2) Если D>0, то график квадратного трёхчлена пересекает ось Ox в точках x1 и x2 (x1<x2), являющихся корнями уравнения ax²+bx+c=0. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞;x1), (x1;x2) и (x2;+∞). При этом знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков (−∞;x1) и (x2;+∞) и противоположен знаку коэффициента a во всех точках промежутка (x1;x2).

3) Если D=0, то график квадратного трёхчлена касается оси Ox в точке x1, являющейся единственным корнем уравнения ax²+bx+c=0. Точка x1 разбивает числовую прямую на два промежутка (−∞;x1) и (x1;+∞). Знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента a при всех xx1.

Назад<<<ЛистатьВперёд>>>
Другие темы в блоке "Школьная математика"