"Чистая"
и прикладная математика

Свойства и графики элементарных функций

Основные свойства и графики элементарных функций - фундаментальные сведения, на базе которых строится исследование любых, как простых, так и сложных функций, рассматриваемых в курсе математического анализа в высшей математике.

Элементарные функции называются элементарными, потому что они заданы элементарными, то есть не сложными выражениями, например, 1/x, x², sinx и другими, рассматриваемыми в курсе школьной математики. На основе элементарных функций строятся сложные функции, являющиеся комбинациями элементарных функций.

Если вы намерены серьезно подойти к изучению высшей математики и сдать этот предмет, то основные свойства и графики элементарных функций желательно запомнить наизусть, хотя бы до экзамена.

График элементарной функции, впрочем, как и любой функции (множество точек, составляющих определенную линию) строится в прямоугольной декартовой системе координат, где Ox - ось абсцисс, а Oy - ось ординат. На оси Ox по точкам графика получаем область определения функции, на оси Oy - область значений функции.

Область определения - одно из основных свойств элементарных функций. Областью определения функции служит некоторое множество чисел, при значениях которых выражение, с помощью которого задана функция, имеет смысл.

Областью определения многих элементарных функций служит множество всех действительных чисел R, а областями определениях некоторых из них - множество положительных действительных чисел R или множество отрицательных действительных чисел R.

Кроме области определения будут даны следующие основные свойства элементарных функций.

Область значений функции. Это множество всех элементов, которые заданной функцией поставлены в соответствие элементам из её области определения. Иначе говоря, область значений функции является образом её области определения.

Чётность или нечетность функции. Четная функция удовлетворяет условию: f(−x)=f(x) для всех x из её области определения. Область определения чётной функции симметрична относительно точки x=0. Нечётная функция удовлетворяет условию: f(−x)=−f(x) для всех x из её области определения. Область определения нечётной функции также симметрична относительно точки x=0. Если область определения функции не симметричная относительно этой точки, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Промежутки возрастания и убывания функции.

Выпуклость и вогнутость функции.

Является ли функция периодической. Периодическая функция - функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям его аргумента некоторого не равного нулю числа T, которое называется периодом функции. Для построения графика периодической функции достаточно построить её график на отрезке [0;T], тогда весь график получается сдвигом построенной части вдоль оси абсцисс на ±T, ±2T и так далее.

Свойства и график линейной функции

Линейной функцией называется функция, заданная формулой y=kx+b, где k и b - некоторые числа.

Область определения линейной функции - множество всех действительных чисел R.

Область значений линейной функции - также множество всех действительных чисел R.

Линейная функция является чётной, если k=0, нечётной, если b=0, и ни чётной, ни нечётной, если k≠0 и b≠0.

Линейная функция возрастает, если k>0, убывает, если k<0, если же k=0, то линейная функция является постоянной.

Линейная функция является одновременно выпуклой и вогнутой.

Линейная функция не является периодичной.

График линейной функции y=kx+b есть прямая линия. Для построения такого графика достаточно двух точек, например, A(0;b) и B(−b/k;0)

На рисунке синим цветом изображён график функции y=2x+3, красным - y=5x+2, зелёным - y=-x/2+4.

Если k=0, то имеет место частный случай линейной функции - постоянная функция, называемая также константой. Она задается формулой y=b.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат. В частности, графиком функции y=0 является ось абсцисс.

На рисунке синим цветом изображён график функции y=3, красным - y=-2.

Свойства и график степенной функции с целым показателем

В общем случае речь пойдет о функции вида , где m - целое число.

Степенная функция с чётным натуральным показателем

Рассмотрим сначала функцию (игрек равен икс в квадрате).

Область определения этой функции - множество всех действительных чисел R

Область значения функции - множество положительных действительных чисел: y∈[0;+∞).

Эта функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на промежутке [0;+∞) и убывает на промежутке ]−∞;0].

Эта функция - вогнутая на всей области определения.

Эта функция - непериодическая.

График функции называется параболой.

Теперь перейдём к степенным функциям, в которых показатель степени - произвольное чётное натуральное число, большее двух: 4, 6, 8 и так далее. В этом случае степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция (игрек равен икс в квадрате). График такой функции похож на параболу, только ветви графика тем круче идут вверх, чем больше показатель степени.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Степенная функция с нечётным натуральным показателем

Рассмотрим сначала функцию (игрек равен икс в кубе).

Область определения этой функции - множество всех действительных чисел R.

Область значений этой функции - также множество всех действительных чисел R.

Это нечётная функция.

Функция возрастает на всём множестве R.

Эта функция выпуклая при x∈(−∞;0] и вогнутая при x∈[0;+∞].

Это непериодическая функция.

График функции называется кубической параболой.

Рассмотрим теперь степенные функции, в которых показатель степени - произвольное нечётное натуральное число, большее трёх: 5, 7, 9 и так далее. В этом случае степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция (игрек равен икс в кубе). График такой функции также похож на кубическую параболу, только ветви графика тем круче идут вверх и вниз, чем больше показатель степени.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Степенная функция с чётным отрицательным показателем

В общем виде это функция , где n - чётное число. Если, например, n=2, то эту функцию можно представить также как .

Область определения: .

Область значений: .

Функция возрастает при и убывает при .

Это чётная функция.

Функция является вогнутой при .

Функция непериодическая.

Ветви графика функции расположены в первом и втором квадрантах координатной плоскости. Они неограниченно (асимптотически) приближаются к осям координат.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Степенная функция с нечётным отрицательным показателем

В общем виде это функция , где n - нечётное число. Если, например, n=1, то эту функцию можно представить также как .

Область определения: .

Область значений:

Функция убывает при .

Это нечётная функция.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Это непериодическая функция.

Ветви графика функции расположены в первом и третьем квадрантах координатной плоскости. График функции называется гиперболой. Её ветви неограниченно (асимптотически) приближаются к осям координат.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Свойства и график степенной функции с любым рациональным показателем

В общем виде это функция (показатель степени принадлежит множеству рациональных чисел).

Могут представиться три случая:

  • r>1;
  • 0<r<1;
  • r<0.

Показатель степени больше единицы

Область определения: .

Область значений: .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является вогнутой при , если 1<r<2 и при , если r>2.

Это непериодическая функция.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - , фиолетовым - . Чем больше показатель степени, тем круче вверх идёт ветвь графика.

Показатель степени больше нуля и меньше единицы

Область определения: .

Область значений: .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является выпуклой при .

Это непериодическая функция.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Показатель степени меньше нуля

Область определения: .

Область значений: .

Функция убывает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является вогнутой при .

Это непериодическая функция.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - . Ветви графика такой функции неограниченно (асимптотически) приближаются к осям координат.

Свойства и графики функции корень

В общем виде это функция , где n - натуральное число больше единицы.

Корень n-й степени, n - чётное число

Область определения: .

Область значений: .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция выпуклая на всей области определения.

Это непериодическая функция.

График функции полностью расположен в первом квадранте координатной плоскости.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Корень n-й степени, n - нечётное число

Область определения: множество всех действительных чисел R.

Область значений: множество всех действительных чисел R.

Функция возрастает на всей области определения.

Функция является нечётной.

Функция выпуклая на и вогнутая на .

Это непериодическая функция.

Ветви графика функции расположены в первом и третьем квадрантах координатной плоскости.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - , зелёным - .

Свойства и графики тригонометрических функций

Функция y=sinx

Область определения множество всех действительных чисел R.

Область значений - отрезок y∈[−1;1]

Функция возрастает при , (принадлежит множеству целых чисел) убывает при .

Это нечётная функция.

Функция является выпуклой при , вогнутой при .

Это периодическая функция с основным периодом 2π

График функции синус называется синусоидой, он показан на рисунке ниже.

Функция y=cosx

Область определения множество всех действительных чисел R.

Область значений - отрезок y∈[−1;1]

Функция возрастает при , убывает при .

Это чётная функция.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Это периодическая функция с основным периодом 2π.

График функции косинус называется косинусоидой, он показан на рисунке ниже.

Функция y=tgx

Область определения: .

Область значений: множество всех действительных чисел R.

Функция возрастает при .

Это нечётная функция.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Это периодическая функция с основным периодом π.

График функции тангенс называется тангенсоидой, он показан на рисунке ниже.

Функция y=ctgx

Область определения: .

Область значений: множество всех действительных чисел R.

Функция убывает при .

Это нечётная функция.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Это периодическая функция с основным периодом π.

График функции котангенс называется котангенсоидой, он показан на рисунке ниже.

Свойства и графики обратных тригонометрических функций

Функция y=arcsinx

Область определения: x∈[−1;1]

Область значений: y∈[−π/2;π/2]

Функция возрастает на всей области определения.

Это нечётная функция.

Функция является выпуклой при x∈[−1;0] и вогнутой при x∈[0;1]

Функция y=arccosx

Область определения: x∈[−1;1].

Область значений: y∈[0;π].

Функция убывает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является выпуклой при x∈[0;1] и вогнутой при x∈[−1;0]

Функция y=arctgx

Область определения: множество всех действительных чисел R.

Область значений:

Функция возрастает на всей области определения.

Функция является нечётной.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Функция y=arcctgx

Область определения: множество всех действительных чисел R.

Область значений: y∈(0;π)

Функция убывает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является выпуклой при и вогнутой при .

Свойства и график показательной функции

Показательная функция - функция вида , где a - некоторое число, x - переменная.

Область определения: множество всех действительных чисел R.

Область значений: множество положительных действительных чисел.

Показательная функция при (основание меньше единицы) убывает на всей области определения. Показательная функция при (основание больше единицы) возрастает на всей числовой прямой.

На рисунке синим цветом изображён график функции , красным - .

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция является вогнутой на всей числовой прямой.

Функция не обладается периодичностью.

Свойства и график логарифмической функции

Логарифмическая функция с основанием a - функция, заданная формулой . При этом .

Область определения: .

Область значений: множество всех действительных чисел R.

При (основание больше единицы) функция возрастает на всей области определения. При (основание меньше единицы) функция убывает на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

При (основание больше единицы) функция является выпуклой на всей области определения. При (основание меньше единицы) функция является вогнутой на всей области определения.

Функция не обладает периодичностью.

На рисунке ниже - график логарифмической функции с основанием больше единицы.

На следующем рисунке - график логарифмической функции с основанием меньше единицы.

Назад<<<ЛистатьВперёд>>>
Другие темы в блоке "Школьная математика"