Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.


Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].
Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.
Для нахождения критических точек нужно неплохо разбираться в производных и решении несложных алгебраических уравнений. В любом случае будет нужна таблица производных (откроется в новом окне), так как в примерах указано, какая именно табличная производная найдена.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке [-1, 2].
Решение. Находим производную (первое и второе слагаемые - табличная производная 3,
третье - табличная производная 1) данной функции .
Приравняем производную нулю (
)
и, решив уравнение, получим две критические точки:
и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке
,
так как точка
не
принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции - следующие:
,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке
, а наибольшее (тоже
красное на графике), равно 9,
- в критической точке
.

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим - в случае максимума.
Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее - в двух.
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке [-3, 3].
Решение. Находим производную (первое и второе слагаемые - табличная производная 3,
третье - табличная производная 1) данной функции .
Привыкаем к однообразным действиям: приравниваем производную нулю (
)
и решение этого уравнения даёт нам три критические точки:
,
и
. Все критические точки
принадлежат отрезку [-3, 3]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и во всех критических точках. Эти значения следующие:

Видим, что функция достигает наименьшего значения, равного -13, в двух точках
и
и наибольшего
значения, равного 12, также в двух точках
и
(то есть на концах отрезка).
Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке [0, 4].
Решение. Находим производную (первое слагаемое - табличная производная 2, второе -
табличная производная 5) данной функции .
Приравниваем производную нулю:
.
Видим, что это уравнение не имеет действительных корней. Поэтому наименьшее и наибольшее значения
функции можем найти только на концах данного отрезка. Находим значения функции на
концах отрезка:

Обе точки, следуя условию, годятся, так что функция достигает наименьшего значения, равного 0, в точке
и наибольшего
значения, равного 6, в точке
.
Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке [-1, 3].
Решение. Находим производную данной функции как производную частного по соответствующему правилу:
.
Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения, равного 1, в точке
.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке [1, e].
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения:
Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [1, e]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения, равного e², в точке
.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Решение. Находим производную (первое слагаемое - табличная производная 2, второе - табличная производная 7) данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точка
принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного ,
в точке
и наибольшего
значения, равного
, в точке
.
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара,
S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных
.
Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что
,
откуда
. Подставив
найденное выражение h в формулу для S:
или
.
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём
.
Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку
. Кроме того,
при
производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак,
- единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную
.
При
вторая производная
больше нуля (
). Значит, при
функция достигает
минимума
. Поскольку
этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота
.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 11. Из пункта A, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна
. К
какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается
прямолинейным)?
Пусть ,
,
(см. рисунок ниже).

Тогда ,
,
. Стоимость провоза
p единиц груза по шоссе СМ составит
,
а по железной дороге МА она составит
.
Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией
,
где .
Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём
.
Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение ,
решение которого даёт единственную критическую точку
(так как точка
не
входит в область определения функции).
Взяв контрольные точки и
слева и справа от
критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при
стоимость провоза груза
из А и С является наименьшей, если
.
Если же
, т. е.
, то шоссе должно пройти
по прямой АС (см. рисунок ниже).

Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
- Применение производной к исследованию функций