Возрастание, убывание и монотонность функции
Понятие возрастания, убывания и монотонности функции
Исследование функции на возрастание и убывание может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.
Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.
Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если
x2 > x1 → f(x2) > f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если
x2 > x1 → f(x2) < f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка производная функции равна нулю (f '(x) = 0), то функция f(x) сохраняет в этом промежутке постоянное значение.
Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.
Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f '(x) > 0), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.
Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f '(x) < 0), то функция f(x) убывает на этом промежутке.
Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю (f '(x) ≥ 0) или меньше или равна нулю (f '(x) ≤ 0), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания
функции
Решение. Находим производную функции:
(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали квадратное уравнение).
Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём
точки, в которых .
Такими точками являются
и
.
Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От до точки
знак положителен,
от точки
до
точки
знак отрицателен, от точки
до
знак
положителен. Ответ на вопрос задания: промежутки возрастания данной функции -
и
, а
промежуток убывания функции -
.
Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания
функции .
Решение. Находим производную функции:
Решая уравнение ,
получаем точки, в которых производная функции равна нулю:
.
Исследуем знаки производной. От до
точки
знак
положителен, от точки
до
точки
знак отрицателен, от точки
до
знак положителен.
Наше исследование показало, что промежутки возрастания данной функции
и
, а
промежуток убывания -
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания
функции .
Решение. Область определения функции - промежуток
, так как
логарифмическая функция определена при
.
Далее находим производную функции:
.
Решая уравнение ,
получаем точку, в которой производная равна нулю:
Исследуем знаки производной. От 0 до точки
знак отрицателен, от точки
до
знак положителен.
Ответ: промежуток убывания функции -
, а
промежуток возрастания -
.
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
- Применение производной к исследованию функций
- Экстремумы функции
- Наименьшее и наибольшее значения функции
- Асимптоты
- Возрастание, убывание и монотонность функции
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
- Полное исследование функций и построение графиков
- Функции двух и трёх переменных
- Экстремумы функции двух переменных
- Условные экстремумы и функция Лагранжа