Точки разрыва функции и их виды

Смысл точки разрыва функции
Точки разрыва первого рода
Точки разрыва второго рода
Решить задачи на точки разрыва самостоятельно, а затем посмотреть решение

Смысл точки разрыва функции

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.

Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы, поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.

Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:

у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f(x)=);
в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Точки разрыва первого рода

Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.

Решение. Функция не определена в точке . Находим левый и правый пределы функции в этой точке:

Левый и правый пределы равны, следовательно точка - точка устранимого разрыва первого рода.

Есть возможность доопределить функцию:

График функции с точкой разрыва - под примером.

Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. Существуют левый и правый пределы, но они различны (не равны). Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком.

Пример 2. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке меняется выражение функции. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Левый и правый пределы не равны равны, следовательно точка - точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пройти тест по теме Предел

Точки разрыва второго рода

Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).

Пример 3. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

И ещё пара примеров, решаемых вместе, а далее - для самостоятельного решения.

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Пределы не равны и конечны, поэтому точка - точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Пример 5. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Оба предела бесконечны, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Решить задачи на точки разрыва самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Посмотреть правильное решение и ответ.

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Весь раздел "Исследование функций"