Понятие функции. Способы задания функции

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Пусть X и Y - какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x∈X ставится в соответствие один и только один элемент y∈Y.

Другими словами, с помощью функции y = f(x) множество X отображается в множество Y. Поэтому функцию называют также отображением. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если, однако, какому-то пассажиру удастся сесть сразу в два кресла и , то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y = f(x) функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции.

Аналитическое задание функции.

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и y = x², x∈[2, 4], выраженные одной и той же формулой y = x², так как они имеют разные области определения.

Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. При x≤0 значения этой функции определяются по первой формуле, а при x>0 - по второй.

График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например, график линейной функции y = kx + b - прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c - парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Графиком числовой функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x; f(x)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций , , .

Если функция y зависит от переменной u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной x, то есть u = g(x), то переменная y называется функцией от функции или сложной функцией от x.

Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая функция от неё.

Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x. Цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев.

Если функция y задана уравнением вида f(x, y) =0, не разрешённым относительно y, то она называется неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить уравнение относительно одной из переменных - в примере 8).

В этом случае уравнение y = f(x) определяет x как неявную функцию от y. Если это уравнение разрешимо относительно x, то получим явное выражение обратной функции: x = g(y).