Как найти область определения функции
Что такое область определения функции?
Начнём с краткого определения. Область определения функции y=f(x) - это множество значений X, для которых существуют значения Y.
Войдём в тему более основательно. Каждой точке графика функции соответствуют:
- определённое значение "икса" - аргумента функции;
- определённое значение "игрека" - самой функции.
- От аргумента - "икса" - вычисляется "игрек" - значения функции.
- Область определения функции - это множества всех значений "икса", для которых существует, то есть может быть вычислен "игрек" - значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает".
Можно понимать область определения функции и как проекцию графика функции на ось Ox.
Что требуется, чтобы уверенно находить область определения функции? Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно. При изучении темы области определения функции поможет материал Свойства и графики элементарных функций. А поскольку областью определения функции служат различные множества, а также их объединения и пересечения, то пригодится и материал Множества и операции над множествами.
Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.
После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно.
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы. Приступаем к практике.
Алгоритм нахождения области определения функции на самых простых примерах
Алгоритм будет более понятен после разбора пары простых примеров. Поэтому приведём его после решений.
Пример 1. На рисунке изображён график функции 
.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель
нулю
x - 1 = 0,
и решая это уравнение:
x = 1 ,
получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции - это все значения "икса" от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.
Пример 2. Как найти область
определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять)
(
)? Так как подкоренное
выражение должно быть неотрицательным, нужно
решить неравенство
x - 5 ≥ 0.
Если перенести какое-либо слагаемое в другую часть неравенства с противоположным знаком, то мы получим равносильное неравенство с тем же знаком неравенства (можно ознакомиться со всеми основными свойствами неравенств). Переносим минус 5 и получаем неравенство
x ≥ 5.
Получаем решение: область определения функции - все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).
На чертеже сверху - фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в "плюсовом" направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.
Таким образом, алгоритм нахождения области определения функции следующий:
- В виде неравенства или системы нескольких неравенств записать условия, при которых выражение функции f(x) имеет смысл.
- Решить неравенство или систему неравенств.
- Полученные значения "икса" записать как область определения функции.
Область определения корня n-й степени
В случае, функции корня n-й степени, то есть когда функция задана формулой 
и n - натуральное число:
если n - чётное число, то областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть [0; + ∞[;
если n - нечётное число, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[.
Пример 3. Найти область определения функции
.
Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому решаем неравенство
.
Это квадратное неравенство
,
где в правой части - неполный квадратный трёхчлен.
По формуле 
находим дискриминант:
.
По формуле 
находим корни квадратного трёхчлена:
.
Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:
и
.
При этом знак квадратного трёхчлена (больше или меньше нуля) совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков
и
и противоположен знаку коэффициента a во всех
точках промежутка 
.
В нашем случае имеем отрицательный коэффициент a=-1, поэтому
квадратный трёхчлен неотрицателен во всех точках промежутка 
.
(Можно ознакомиться со всеми возможными случаями при решении квадратных неравенств).
Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1].
Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции находится в зависимости от вида степени в выражении.
Область определения степенной функции с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой 
:
если 
- положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[,
то есть нуль входит в область определения;
если
- отрицательное, то областью определения функции является множество (0; + ∞[,
то есть нуль не входит в область определения.
Пример 4. Найти область определения функции
.
Решение. Выражение функции можно представить так:
Квадратный трёхчлен в скобках в знаменателе должен быть строго больше нуля (ещё и потому, что дробный показатель степени данной степенной функции - отрицательный). Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля:
.
.
Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях "икса" не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции - вся числовая ось, или, что то же самое - множество R действительных чисел, или, что то же самое - ]- ∞; + ∞[.
Пример 5. Найти область определения функции
.
Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество [0; + ∞[.
На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.
Область определения степенной функции с целым показателем степени
В случае, когда функция задана формулой 
:
если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;
если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, то есть вся числовая прямая за исключением нуля.
На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).
Пример 6. Найти область определения функции
.
Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.
Область определения показательной и логарифмической функции
Область определения показательной функции
В случае, когда функция задана формулой 
,
областью определения функции является вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[. Подробнее о графике такой функции.
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция 
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
]0; + ∞[. Подробнее о графике такой функции.
Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти область определения функции
.
Пример 8. Найти область определения функции
.
Область определения тригонометрических функций
Подробнее о свойствах и графиках таких функций.
Область определения функции y = sin(x) - множество R действительных чисел.
Область определения функции y = cos(x) - так же множество R действительных чисел.
Область определения функции y = tg(x) -
множество R действительных чисел, кроме чисел
.
Область определения функции y = ctg(x) -
множество R действительных чисел, кроме чисел
.
Пример 9. Найти область определения функции
.
Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного (2kπ) или нечётного целого числа ((2k+1)π).
Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением
,
где k - целое число.
Область определения обратных тригонометрических функций
Подробнее о свойствах и графиках таких функций.
Область определения функции y = arcsin(x) - множество [-1; 1].
Область определения функции y = arccos(x) - так же множество [-1; 1].
Область определения функции y = arctg(x) - множество R действительных чисел.
Область определения функции y = arcctg(x) - так же множество R действительных чисел.
Пример 10. Найти область определения функции
.
Решение. Решим неравенство:
Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4].
Пример 11. Найти область определения функции
.
Решение. Решим два неравенства:
Решение первого неравенства:
Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.
Аналогично и решение второго неравенства:
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [0; 1].
Область определения дроби
Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Пример 12. Найти область определения функции
.
Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби:
x+2=0,
x=-2,
находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме минус 2.Пример 13. Найти область определения функции
.
Решение. Решим уравнение:
Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме минус единицы и единицы.
Пример 14. Найти область определения функции
.
Решение. Область определения первого слагаемого - данной функции - множество R действительных чисел, второго слагаемого - все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции - ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ; 2[ ∪ ]2 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме -2 и 2.
Пример 15. Найти область определения функции
.
Решение. Решим уравнение:
Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции - вся числовая прямая или, что то же самое - множество R действительных чисел или, что то же самое - ]- ∞; + ∞[.
То есть, какое бы число мы не подставляли вместо "икса", знаменатель никогда не будет равен нулю.
Пример 16. Найти область определения функции
.
Решение. Решим уравнение:
Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.
Пример 17. Найти область определения функции
.
Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:
График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].
Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 18. Найти область определения функции
.
Пример 19. Найти область определения функции
.
Область определения постоянной
Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.
Пример 20. Найти область определения функции y = 2.
Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.
Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Область определения линейной функции
Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции - множество R действительных чисел.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Непрерывность функции
- Точки разрыва функции и их виды
- Экстремумы функции
- Наименьшее и наибольшее значения функции
- Асимптоты
- Возрастание, убывание и монотонность функции
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
- Полное исследование функций и построение графиков
- Функции двух и трёх переменных
- Экстремумы функции двух переменных
- Условные экстремумы и функция Лагранжа
