"Чистая"
и прикладная математика

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Признаки выпуклости и вогнутости графика функции

Исследование функции на выпуклость и вогнутость может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика. Выпуклость и вогнутость функции имеет место только на определённом интервале, с чем и связаны нижеприведённые определения.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной  (рис. 2).


Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[ вторая производная больше нуля

(),

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же вторая производная меньше нуля

()

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.


Признаки существования точки перегиба

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 3).


Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через точку меняет знак, то точка

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Исследуем характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Как должно быть понятно из определений выше, чтобы исследовать характер выпуклости кривой y = f(x), нужно найти те точки, в которых вторая производная равна нулю () или не существует, а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки экстремума по первой производной).

Пример 1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Функция определена при (как найти область определения функции). Её производные и . Найдём возможные точки перегиба. Полагая , получим , то есть , полагая , получим .

Однако точки и не входят в область определения заданной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба при . Исследуем знаки второй производной в окрестности точки . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , получим . Следовательно, слева от кривая выпукла, а справа - вогнута, поэтому при график функции имеет точку перегиба .

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 2. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости и построить график функции .

Решение. Функция определена при . Её производные и . Здесь , а при , причём при и при . Следовательно, слева от кривая вогнута, а справа - выпукла, т.е. - точка перегиба графика.

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию .

Решение. Находим вторую производную: . Из уравнения получаем одну критическую точку: . Исследовав знак в окрестности точки получаем: слева от точки (выпуклость), а справа - (вогнутость), т. е. точка является точкой перегиба рассматриваемой функции.

График этой функции - на рис. снизу.

Исследовать характер выпуклости и вогнутости графика самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Продолжаем исследовать характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Пример 6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :

Таких значений x, при которых вторая производная функции не существовала бы, нет, поэтому найденные - все возможные точки перегиба. Чтобы убедиться в том, что они действительно являются точками перегиба, следует проверить поведение графика функции в этих точках. Для этого найдём значения второй производной слева и справа от точек :

, поэтому график функции в интервале вогнутый,

, поэтому график функции в интервале выпуклый,

, поэтому график функции в интервале вогнутый.

Вывод: точки действительно являются точками перегиба графика данной функции, так как при переходе через них меняется поведение графика. Найдём значения функции в точках перегиба:

Обобщим полученные данные в таблице:

x(−∞;2)2(2;4)4(4;+∞)
y''+00+
yвогнутый2выпуклый146вогнутый

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :

Видим, что не существует таких значений x, при которых вторая производная была бы равна нулю, так как . Таким образом, точки перегиба могут быть только при таких значениях x, в которых вторая производная функции не определена. Определим точки, в которых вторая производная функции не определена:

Определим знаки второй производной функции в интервалах между возможными точками перегиба.

Интервал :

, поэтому график функции в интервале вогнутый.

Интервал :

, поэтому график функции в интервале выпуклый.

Интервал :

, поэтому график функции в интервале вогнутый.

Интервал :

, поэтому график функции в интервале вогнутый.

Найдём значения функции в конечных точках интервалов:

Обобщим полученные данные в таблице:

x(−∞;−√3)−√3(−√3;0)
y''+
yвогнутый0выпуклый
0(0;√3)√3(√3;+∞)
+
0вогнутый0выпуклый

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 8. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Область определения данной функции , так как логарифм существует только от положительных чисел. Найдём вторую производную функции:

Приравнивая вторую производную нулю, определим критические точки:

Так как точка x = 0 не принадлежит области определения функции, то

Таким образом, точка x = 1 - единственная критическая точка. Знаки второй производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале - минус,

в интервале - плюс.

Значение функции в точке перегиба:

.

Следовательно, в интервале график данной функции выпуклый, а в интервале - вогнутый. Точка перегиба - (1; −7).

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 9. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Найдём вторую производную функции:

Приравнивая вторую производную нулю, определим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Так как 10≠0, то для любого значения x . Вторая производная не существует, если или x = 2. Определим знаки второй производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале - минус,

в интервале - плюс.

Следовательно, в интервале график данной функции выпуклый, а в интервале - вогнутый.

Весь блок "Производная"