Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
Признаки выпуклости и вогнутости графика функции
Исследование функции на выпуклость и вогнутость может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика. Выпуклость и вогнутость функции имеет место только на определённом интервале, с чем и связаны нижеприведённые определения.
В изучении этого урока поможет материал Свойства и графики элементарных функций. График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной (рис. 2).

Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[ вторая производная больше нуля
(),
то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же вторая производная меньше нуля
()
во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.

Признаки существования точки перегиба
Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 3).
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке
функция f(x) имеет первую производную
,
а вторая производная
в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через точку
меняет знак, то точка
является точкой перегиба графика функции y = f(x).
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Исследуем характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе
Как должно быть понятно из определений выше, чтобы исследовать характер выпуклости кривой y = f(x),
нужно найти те точки, в которых вторая производная равна нулю () или
не существует,
а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа
от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки
экстремума по первой
производной).
Пример 1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Решение. Функция определена при
(как найти область определения функции).
Её производные
и
. Найдём
возможные точки перегиба. Полагая
,
получим
,
то есть
,
полагая
,
получим
.
Однако точки и
не входят
в область определения заданной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба
при
.
Исследуем знаки второй производной в окрестности точки
.
Взяв в интервале
точку
,
получим
, а
взяв в интервале
точку
, получим
.
Следовательно, слева от
кривая выпукла, а справа - вогнута, поэтому при
график функции имеет точку перегиба
.
График этой функции - на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 2. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости
и вогнутости и построить график
функции .
Решение. Функция определена при .
Её производные
и
.
Здесь
,
а
при
, причём
при
и
при
.
Следовательно, слева от
кривая вогнута, а справа - выпукла, т.е.
-
точка перегиба графика.
График этой функции - на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и
точки перегиба функцию .
Решение. Находим вторую производную: .
Из уравнения
получаем одну критическую точку:
.
Исследовав знак
в
окрестности точки
получаем: слева от точки
(выпуклость),
а справа -
(вогнутость),
т. е. точка
является точкой перегиба рассматриваемой функции.
График этой функции - на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Исследовать характер выпуклости и вогнутости графика самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Продолжаем исследовать характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе
Пример 6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :
Таких значений x, при которых вторая производная
функции не существовала бы, нет, поэтому найденные -
все возможные точки перегиба. Чтобы убедиться в том, что они действительно являются точками перегиба,
следует проверить поведение графика функции в этих точках. Для этого найдём значения второй
производной слева и справа от точек
:
, поэтому
график функции в интервале
вогнутый,
, поэтому
график функции в интервале
выпуклый,
, поэтому
график функции в интервале
вогнутый.
Вывод: точки
действительно являются точками перегиба графика данной функции, так как при переходе через них меняется
поведение графика. Найдём значения функции в точках перегиба:
Обобщим полученные данные в таблице:
x | (−∞;2) | 2 | (2;4) | 4 | (4;+∞) |
y'' | + | 0 | − | 0 | + |
y | вогнутый | 2 | выпуклый | 146 | вогнутый |
График этой функции - на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :
Видим, что не существует таких значений x, при
которых вторая производная была бы равна нулю, так как .
Таким образом, точки перегиба могут быть только при таких значениях x,
в которых вторая производная функции не определена. Определим точки, в которых вторая производная функции
не определена:
Определим знаки второй производной функции в интервалах между возможными точками перегиба.
Интервал :
, поэтому
график функции в интервале
вогнутый.
Интервал :
, поэтому
график функции в интервале
выпуклый.
Интервал :
, поэтому
график функции в интервале
вогнутый.
Интервал :
, поэтому
график функции в интервале
вогнутый.
Найдём значения функции в конечных точках интервалов:
Обобщим полученные данные в таблице:
x | (−∞;−√3) | −√3 | (−√3;0) |
y'' | + | ∅ | − |
y | вогнутый | 0 | выпуклый |
0 | (0;√3) | √3 | (√3;+∞) |
∅ | + | ∅ | − |
0 | вогнутый | 0 | выпуклый |
График этой функции - на рис. снизу.

Пример 8. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Решение. Область определения данной функции ,
так как логарифм существует только от положительных чисел. Найдём вторую производную функции:
Приравнивая вторую производную нулю, определим критические точки:
Так как точка x = 0 не принадлежит области определения функции, то
Таким образом, точка x = 1 - единственная критическая точка. Знаки второй производной в интервалах, разграниченных этой точкой:
в интервале -
минус,
в интервале -
плюс.
Значение функции в точке перегиба:
.
Следовательно, в интервале
график данной функции выпуклый, а в интервале
-
вогнутый. Точка перегиба - (1; −7).
График этой функции - на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 9. Найти интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .
Решение. Найдём вторую производную функции:
Приравнивая вторую производную нулю, определим точки, в которых вторая производная
равна нулю или не существует. Так как 10≠0, то для любого значения
x .
Вторая производная не существует, если
или x = 2. Определим знаки второй производной в интервалах,
разграниченных этой точкой:
в интервале -
минус,
в интервале -
плюс.
Следовательно, в интервале
график данной функции выпуклый, а в интервале
-
вогнутый.
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритмы и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
- Применение производной к исследованию функций
- Экстремумы функции
- Наименьшее и наибольшее значения функции
- Асимптоты
- Возрастание, убывание и монотонность функции
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
- Полное исследование функций и построение графиков
- Функции двух и трёх переменных
- Экстремумы функции двух переменных
- Условные экстремумы и функция Лагранжа