Для нахождения линейной зависимости между векторами проверим сначала условие их зависимости. Если векторы линейно зависимы, то их линейная комбинация равна нулю. Приравниваем к нулю сумму всех векторов, умноженных каждый на неизвестный коэффициент (обычно обозначается греческой буквой "лямбда"). Получается система линейных уравнений. Решая ее методом Гаусса, получаем, что она является неопределённой, то есть ее решениями являются любые числа, такие, что:

"лямбда 1" = -n, "лямбда 2" = -m ,

"лямбда 3" = (-m-n),

"лямбда 4" = m,

"лямбда 5" = n.

Возвращаемся к условию линейной зависимости (равенство нулю линейной комбинации всех векторов)и по очереди оставляем каждый из векторов со своим коэффициентом в левой части уравнения, а все остальные оказываются в правой части. Вот и получаем линейные зависимости между векторами, где m и n - любые числа:

na1 = -ma2 + (-m-n)a3 + ma4 + na5

ma2 = -na2 + (-m-n)a3 + ma4 + na5

(m+2)a3 = -na1 - ma2 + ma4 + na5

ma4 = na1 + ma2 -(-m-n)a3 - na5

na4 = na1 + ma3 -(-m-n)a3 - ma4

Эти равенства верны при любых m и n.