Скалярное поле. Векторное поле. Основные понятия и задачи

Понятие поля в математике
Скалярное поле: определение, поверхности уровня и линии уровня
Векторное поле: определение, векторные линии

Понятие поля в математике

Теория поля является разделом математики, однако понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определённое значение), поле давлений, поле скоростей и другие поля.

Поле величины u называется стационарным, (или установившимся), если u не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки M и времени t.

В задачах физики чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные.

Скалярное поле: определение, поверхности уровня и линии уровня

Пусть D - некоторая область на плоскости или в пространстве.

Определение скалярного поля. Если в области D каждой точке M(x,y,z) пространства или точке M(x,y) плоскости в каждый момент времени t по определённому закону ставится в соответствие значение скалярной величины u, то функция u(x,y,z,t) в случае пространства или u(x,y,t) в случае плоскости называется скалярным полем.

Понятия скалярного поля и функции, определённой в области D, совпадают.

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура выше, чем в точках, расположенных дальше от источника тепла. Можно привести и такие примеры, как поле освещённости, поле плотности массы и тому подобные.

Для получения более полного представления о скалярном поле используется его графическое изображение - поверхности уровня в пространстве и линии уровня на плоскости.

Линии уровня широко используются при составлении топографических и метеорологических карт. На топографических картах линия уровня - линия, в точках которой отмечена одна и та же высота над уровнем моря. На метеорологических картах строят два вида линий уровня - изотермы (линии одинаковой температуры) и изобары (линии одинакового давления).

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество всех тех точек пространства, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z):

u(x,y,z) = C.

При постоянном изменении значения C поверхности уровня заполняют всю область пространства. Если поверхности уровня размещены плотно, скалярное поле изменяется быстро. Если же поверхности уровня расположены редко, скалярное поле изменяется медленно.

Определение. Линией уровня скалярного поля называется множество всех тех точек на плоскости, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение линии уровня скалярного поля u(x,y):

u(x,y) = C.

Пример 1. Определить поверхности уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением поверхностей уровня данного скалярного поля является

или

Определение поверхностей уровня скалярного поля

Поверхностями уровня являются конусы с вершиной в начале координат и осью вращения Oy. Так как по области определения , то одновременно не может быть x = 0 и z = 0. Поэтому следует исключить вершину конусов.

Пример 2. Определить линии уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением линий уровня данного скалярного поля является

Из этого уравнения выразим "игрек":

Так как arcsinC - также константа, обозначим её C1. Тогда

Определение линий уровня скалярного поля

Графиками этих линий являются параболы с вершиной в точках и ветвями вниз. На рисунке изображены линии уровня в трёх случаях: C1 = 1 - красная линия, C1 = 2 - зелёная линия, C1 = 3 - синяя линия.

Векторное поле: определение, векторные линии

Понятие векторного поля во многом аналогично понятию скалярного поля.

Определение векторного поля. Если в некоторой области пространства каждой точке M по определённому закону ставится в соответствие вектор , то векторная функция называется полем вектора или векторным полем.

Таким образом, векторным полем является векторная функция точки пространства

Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей жидкости или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные. Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.

Мы будем рассматривать только стационарные векторные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

Проекции вектора , соответствующего точке M, на координатные оси обозначим P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z). Тогда векторное поле сможем задать через компоненты:

Таким образом, векторное поле можно определить тремя скалярными функциями P, Q, R. Пусть эти функции и их частные производные по переменным x,y,z являются непрерывными функциями.

Определение. Векторной линией называется линия, направление которой в каждой точке касательной совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рисунок ниже).

Векторные линии поля силы обычно называют линиями силы, векторные линии поля скоростей потока жидкости или газа - векторами потока. У стационарного потока жидкости линии потока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Уравнения векторных линий можно найти, решив систему дифференциальных уравнений