Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

В случае, если m = 0, уравнение является линейным, а в случае, если m = 1, уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

или

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z' = u'v + uv':

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y' = u'v + uv' в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

и решение данного дифференциального уравнения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую - нелинейные:

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y' = u'v + uv':

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

И напоследок - пример с альтернативным обозначением производных - через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом - переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим