Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где p и q - вещественные числа (постоянные величины), f(x) - непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения,
т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: 
.
Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.
Правая часть - многочлен некоторой степени
Пусть правая часть - многочлен второй степени: 
. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: 
. Задача состоит в определении коэффициентов A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, 
и 
подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем
или после группировки членов левой части
Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:
Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При 
система даёт единственное решение для A, B, C.
Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент 
, то его частное решение следует искать в виде
.
Далее - также ищем и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, не забывая, что .
Если же и 
, то исходное уравнение имеет вид 
. Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.
Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде 
и т.д.
Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение 
, соответствующее данному неоднородному.
Характеристическое уравнение 
имеет действительные и различные корни 
и 
(как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде 
, поскольку в правой его части - многочлен второй степени, а 
. Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству
или
.
Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений
Её решения 
, 
, 
.
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид 
. Его характеристическое уравнение 
имеет действительные и различные корни 
и 
. Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части - многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде 
. Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим
или
.
Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений
Её решения 
, 
.
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Правая часть уравнения - показательная функция
То есть, 
. Тогда и его частное решение также будем искать в виде показательной функции: 
. Для определения коэффициента A найдём первую и вторую производные этой функции: 
, 
, а затем подставим выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Это даёт
или
так как 
. Отсюда найдём A, если 
, т. е. если коэффициент b не является корнем характеристического уравнения.
Если же b - однократный корень характеристического уравнения, т. е. 
, то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде 
. В этом случае коэффициент A определяется однозначно. Для этого находим и , а затем подставив выражения для Y, и в исходное уравнение, получим
или после тождественных преобразований
.
Так как, по условию , то после сокращения на множитель 
получим 
, откуда определяется A, если 
, т. е. если 
.
Если же 
является корнем характеристического уравнения, то это означает, что b является двукратным корнем этого уравнения. Тогда частное решение линейного однородного дифференциального уравнения следует искать в виде 
. Для определения коэффициента A находим и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов и сокращения на 
.
Но 
как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид 
, откуда и определяется A.
Пример 3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решим однородное уравнение 
, соответствующее данному неоднородному. Его характеристическое уравнение 
имеет действительные и различные корни 
и 
. Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Правая часть исходного уравнения представляет собой показательную функцию, а коэффициент b = 4 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
. Находим его первую и вторую производные, а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
или 
, т. е. 
.
Следовательно, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения служит функция 
, а его общее решение имеет вид
.
Пример 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному уравнению соответствует такое же однородное уравнение, как и в примере 3, а значит, такое же решение однородного уравнения. Однако частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде 
, так как коэффициент b = 2 является корнем характеристического уравнения. Для определения коэффициента A находим и , а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
откуда находим 
, т. е. 
.
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения 
, а общее решение
.
Правая часть уравнения - тригонометрическая функция вида 
,
причём 
. Тогда и частное решение следует искать в таком же виде, а именно 
. Для определения коэффициентов A и B находим первую и вторую производные этой функции и подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Тогда после группировки членов в левой части получаем
.
Это тождество возможно, если коэффициенты при 
и 
совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений
откуда находим
,
.
Эти формулы показывают, что коэффициенты A и B можно найти всегда, за исключением случая 
. Так как 
, то это равенство возможно, если 
и 
, т. е. если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид
.
В этом случае частное решение следует искать в виде 
. Найдя вторую производную и подставив выражения для Y и в уравнение, получим
или после упрощений
откуда 
, 
.
Из этих уравнений всегда можно определить коэффициенты A и B, поскольку 
Пример 5. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид 
. Его характеристическое уравнение 
имеет действительные и различные корни 
и 
. Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде 
. Для определения коэффциентов A и B находим и и подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов
откуда для определения A и B получаем систему уравнений
Решая её, найдём 
.
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения 
, а его общее решение
.
Пример 6. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение 
. Характеристическое уравнение 
имеет комплексные корни 
и 
. Таким образом, общее решение однородного уравения
.
В данном уравнении отсутствует член с первой производной, а 
. Поэтому его частное решение ищем в виде 
. Подстановка выражений и Y даёт
или
откуда 
, 
.
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения 
, а его общее решение
.
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. 
, то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
