Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y'
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y'

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

где и - произвольные константы интегрирования.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y' в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Заменяя z произведением функций u и v, получим

Тогда получим выражения с функцией v:

Выражения с функцией u:

Дважды интегрируем и получаем:

Для интегрирования по частям обозначаем:

Интегрируем по частям и получаем:

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

Понижение порядка уравнения, не содержащего y

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

где и - произвольные константы интегрирования.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Интегрируем полученную функцию:

Мы пришли к цели - общему решению данного дифференциального уравения:

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

или

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Интегрируем:

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

где и - произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

или

При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).