Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Что называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах?
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе - должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению
dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
.
Решая два последних равенства, можем записать
.
Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек", второе - по переменной "икс":
.
Так как
,
получим
,
что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
того, чтобы выражение 
было
полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы 
.
Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную
производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы - 
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
,
где 
- пока неизвестная функция от y.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) - проинтегрировать второе уравнение системы
- 
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла).
Таким образом так же восстанавливается функция F:
,
где 
- пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте - по x) и приравнять ко второму уравнению системы:
,
а в альтернативном варианте - к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем 
(в альтернативном варианте 
)
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти 
(в альтернативном варианте найти 
).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства - в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.
Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - 
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где - пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.
Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.
Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы - 
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где 
- пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем 
:
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим 
:
.
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - 
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где - пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - 
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где - пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) - 
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где - пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при условии 
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - 
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где - пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
