Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравение первого порядка
называется однородным, если
и
- однородные функции
одной и то же степени.
Функция
называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство
.
В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство
Пример 1. Установить, являются ли однородными функции
1) ;
2) ;
Решение. Находим
Следовательно, -
однородная функция третьей степени.
Аналогично устанавливается, что -
однородная функция четвёртой степени:

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но
нулевой степени. Пусть и
- однородные функции
k-й степени. Это означает, что
, а
. Их отношение - некоторая функция
, так как
.
Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Для этого преобразуем уравнение к виду
или
, (1)
где -
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t.
В частности, если
, то
, или
, т. е. функция
представлена в виде функции
от
.
Обозначим это отношение через z, т. е. ,
откуда
. Тогда
и уравнение (1) преобразуется так:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование,
затем следует заменить z на .
Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку ,
откуда
. Тогда уравнение примет вид
, или
, или
.
Почленное интегрирование даёт
, или
.
Заменяя z на ,
получим
, откуда
.
Пример 3. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку ,
откуда
. Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем .
Итак, или
.
Далее или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим
, откуда
и
- общий интеграл данного уравнения.
Пример 4. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку ,
откуда
. Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем
Итак, или
.
Почленное интегрирование даёт
,
откуда
.
Заменяя z на ,
получим
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x и получим
- общий интеграл данного уравнения.
Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку ,
откуда
. Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем
Итак, или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим
- общий интеграл данного уравнения.
Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть методами интегрирования - путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой метод интегрирования дважды или даже трижды.
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями