Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравение первого порядка 
называется однородным, если 
и
- однородные функции
одной и то же степени.
Функция 
называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство
.
В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство
Пример 1. Установить, являются ли однородными функции
1) 
;
2) 
;
Решение. Находим
Следовательно, -
однородная функция третьей степени.
Аналогично устанавливается, что 
-
однородная функция четвёртой степени:
Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но
нулевой степени. Пусть и
- однородные функции
k-й степени. Это означает, что 
, а
. Их отношение - некоторая функция
, так как 
.
Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Для этого преобразуем уравнение к виду
или
, (1)
где 
-
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t.
В частности, если 
, то
, или
, т. е. функция
представлена в виде функции
от 
.
Обозначим это отношение через z, т. е. 
,
откуда 
. Тогда
и уравнение (1) преобразуется так:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование,
затем следует заменить z на .
Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку 
,
откуда 
. Тогда уравнение примет вид
, или
, или
.
Почленное интегрирование даёт
, или
.
Заменяя z на ,
получим 
, откуда
.
Пример 3. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем 
.
Итак, 
или
.
Далее 
или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим 
, откуда
и
- общий интеграл данного уравнения.
Пример 4. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем 
Итак, 
или
.
Почленное интегрирование даёт
,
откуда
.
Заменяя z на ,
получим 
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x и получим 
- общий интеграл данного уравнения.
Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем 
Итак, 
или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим 
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим 
- общий интеграл данного уравнения.
Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть методами интегрирования - путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой метод интегрирования дважды или даже трижды.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
