Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть
y сложная функция x:
,
.
Дифференциал 
этой функции, используя формулу для производной сложной функции,
можно записать в виде 
.
Но 
есть дифференциал функции u, поэтому
, т. е.
.
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для
дифференциала функции независимой переменной x, т. е.
,
хотя аргумент u является не независимой переменной,
а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du - дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.
Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.
Пример 1. Дана функция 
.
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования степенной функции.
Через du:
Подставляя в полученное равенство 
и 
, получаем
Результаты совпадают.
Пример 2. Дана функция 
.
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство 
и 
, получаем
Результаты совпадают.
Пример 3. Дана функция 
.
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство 
и 
, получаем
Результаты совпадают.
Пример 4. Дана функция 
.
Решение.
Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство 
и 
,
получаем
Результаты совпадают.
Пример 5. Дана функция 
.
Решение.
Через dx:
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство 
и 
, получаем
.
Результаты совпадают.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Дифференциал функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
Поделиться с друзьями
