Вычисление минора и алгебраического дополнения

Пример 1. Записать и вычислить миноры второго порядка, содержащиеся в первой и третьей строках определителя

Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 10 миноров второго порядка:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Пример 2. Записать и вычислить алгебраические дополнения к минорам и определителя из предыдущего примера.

Решение. Умножаем минус единицу в степени, которую составляет сумма номеров строк и столбцов, в которых находятся миноры, на дополнительный минор к данному минору. Дополнительный минор получается вычёркиванием из определителя тех строк и столбцов, на пересечении которых находится данный минор. Получаем:

,

.

Пример 3. Найти алгебраические дополнения для элементов и определителя

Решение. Аналогично действиям в предыдущем примере получаем:

,

.

Пример 4. Найти миноры третьего порядка, содержащиеся в первой, третьей и четвёртой строках определителя

Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 4 минора третьего порядка:

,

,

,

.

Пример 5. Вычислить алгебраические дополнения для миноров, полученных в предыдущем примере.

Решение. Последовательно вычёркиваем из исходного определителя 4-го порядка строки и столбцы, в которых находятся полученные миноры. Получаем дополнительные миноры к полученным. Эти дополнительные миноры являются определителями первого порядка, то есть, состоят из одного элемента. Вычисляем и получаем:

,

,

,

.

Пример 6. Найти алгебраические дополнения для элементов второй строки определителя

Решение. Вычёркиваем последовательно из определителя элементы второй строки и получаем миноры третьего порядка - дополнительные миноры к этим элементам. На них умножаем минус единицу в степени, определяемой суммой номеров строки и столбца, в которых находятся элементы. Вычисляем и получаем: