"Чистая"
и прикладная математика

Касательная плоскость и нормаль к поверхности: вывод уравнений, примеры

Понятие касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение. Касательной плоскостьью к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) называется плоскость, содержащие все касательные к поверхности, проведённые в точке P0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке P называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости, проведённой через точку P.

Чтобы найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, нужно выполнить следующее:

  • найти частные производные функции, которой задана поверхность;
  • найти значения найденных частных производных в точке P0;
  • найденные значения частных производных и координаты точки P0 подставить в уравнения касательной плоскости и нормали в общем виде.

Прежде чем решать примеры, выведем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности: их вывод может быть включён в экзаменационные билеты.

Вывод уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть дана поверхность z = f(x,y) и точка P0(x0,y0,f(x0,y0)) на этой поверхности.

Чтобы получить уравнение касательной плоскости, достаточно составить уравнение плоскости, на которой находятся две касательные прямые, проведённые через точку P0(x0,y0,f(x0,y0)). Одна из касательных прямых пусть будет параллельна плоскости xOz, другая - параллельна плоскости yOz (поэтому x - константа). Уравнения этих прямых будут следующими:

1)

2)

где z0 = f(x0,y0)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку P0(x0,y0,z0), будет следующим:

A1(x − x0) + B1(y − y0) + C1(z − z0) = 0

или

z − z0 = A(x − x0) + B(y − y0),

где

, .

В последнем уравнении A и B - произвольные константы. Эта плоскость перпендикулярна вектору нормали .

Принимая в уравнении плоскости y = y0, получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P0(x0,y0,z0) и лежащих в плоскости y = y0:

.

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Принимая в уравнении плоскости x = x0, получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P0(x0,y0,z0) и лежащих в плоскости x = x0:

.

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Подставляя полученные коэффициенты A и B в уравнение плоскости, получаем уравнение касательной плоскости:

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,z0).

Так как вектор перпендикулярен касательной плоскости к поверхности, то он параллелен нормали и может служить вектором её направления. Таким образом, уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,z0):

.

Рассмотрим также случай, когда уравнение поверхности дано в неявной форме:

.

Это уравнение определяет неявную функцию z = f(x,y), частные производные которой в точке P0(x0,y0,z0)

,

,

при условии, что , а . Подставляя эти производные в уравнение касательной плоскости, получаем

Перенеся все слагаемые в левую часть и умножив на , получаем уравнение касательной плоскости для случая, когда поверхность задана в неявном виде:

Соответствующие уравнения нормали к поверхности:

.

Примеры нахождения уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

Решение. Функция, которой задана поверхность:

.

Найдём частные производные этой функции:

Вычислим значения частных производных в точке :

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плосоксти и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

.

Пример 2. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке P0(x0,y0,z0), если y0 = 1, z0 = 0.

Решение. Эта задача уже посложнее, так как в ней не дано x0 и эту координату требуется найти. Для этого подставим y0 и z0 в уравнение поверхности:

Найдём частные производные функции, которой задана поверхность:

.

Вычислим значения частных производных в точке P0(x0,y0,z0):

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плосоксти и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

.

Пример 3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

,

которая параллельна плоскости .

Решение. Сначала нужно найти точку поверхности, проведённая через которую касательная плоскость будет параллельна заданной плоскости. Если касательная плоскость и данная плоскость параллельны, то векторы нормалей будут коллинеарны.

Вектором нормали касательной плоскости будет , где . Вектором нормали данной плоскости является .

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть

Так как частные производные

,

то получим

или

.

Чтобы найти координаты точки M, к последним равенствам нужно присоединить уравнение поверхности. В результате получим систему уравнений, которую и решаем:

.

Таким образом,

,

следовательно,

Вот мы и нашли две точки и , проведённая через которые касательная плоскость параллельна данной плоскости.

Вычислим значения частных производных в точке :

Теперь уже можем составить уравнение касательной плоскости, проведённой через точку :

Вычислим значения частных производных в точке :

И, наконец, уравнение касательной плоскости, проведённой через точку :

Поделиться с друзьями

Производные

Функции нескольких переменных