Производная суммы дробей со степенями и корнями

При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь двойка перед иксом - постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.

Собираем всё вместе:

Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями, их преобразовании и сокращении.

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями.

Находим производную второго слагаемого:

Производная третьего слагаемого - константы 1/2 - равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых - минусы:

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого - минус:

Листать

Вперёд>>>

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"