Производная суммы дробей со степенями и корнями
При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:
- применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
- необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
- что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Находим производную второго слагаемого:
.
Находим производную третьего слагаемого:
.
Здесь двойка перед иксом - постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.
Собираем всё вместе:
.
Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:
.
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями, их преобразовании и сокращении.
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Здесь потребовались навыки в действиях с дробями.
Находим производную второго слагаемого:
Производная третьего слагаемого - константы 1/2 - равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:
А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых - минусы:
.
Пример 5. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого - минус:
.
Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные