Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры
Как найти производную функции, заданной неявно
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно. Что значит неявно? Сравним с обычной функцией. Обычная функция задана уравнением вида y=f(x), где игрек, то есть функция, задан некоторым выражением, в котором присутствует икс. Таким образом, из переменных в левой части - только игрек, в правой - только икс. Если же функция задана неявно, то в левой части различные слагаемые с игреком "смешаны" с различными слагаемыми с иксом (или переменной, обозначенной другой буквой). Примеры функций, заданных неявно:
,
,
,
,
.
При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.
Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.
Теперь приведенный выше "скелет" решения обрастет "мясом", то есть необходимыми
подробностями. Те слагаемые, в
которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые, в которых
присутствуют и икс, и игрек, нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
то есть учитывать, что игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной
слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого
запишется как
, производная
слагаемого 
запишется как
. Далее из всего этого
нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно.
Разберём это на примерах.
Решаем задачи вместе
Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
.
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
.
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
Путь к ответу и в конец сам ответ:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Правило Лопиталя
