"Чистая"
и прикладная математика

Производная параметрически заданной фукнции: формула, примеры

Наша задача - научиться находить производные функций, заданных параметрическими уравнениями

или функциями.

Для этого требуется находить производные "обыкновенных" функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x) можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

Таким образом, t - промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название - параметрически заданная функция).

Функция - обратная для функции .

Существует очень простая формула для нахождения производной параметрически заданной функции, при этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу - искомая производная параметрически заданной функции, в числителе - производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе - производная первой из функций. Формула доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.


Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить? Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента. Применяя их, получим искомую производную параметрически заданной функции:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.


Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.


Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция, причёсываем" степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом, получаем производную данной параметрически заданной функции:

Поделиться с друзьями

Производные

Функции несольких переменных