"Чистая"
и прикладная математика

Производная параметрически заданной фукнции: формула, примеры

Разбираем формулу параметрически заданной функции

Для нахождения производной параметрически заданной функции cуществует очень простая формула. При этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Наша задача - научиться находить производные функций, заданных параметрическими уравнениями

или функциями.

Для этого требуется находить производные "обыкновенных" функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x) можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

В этой паре формул нетрудно заметить, что t - промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название - параметрически заданная функция).

Функция - обратная для функции .

Самое время узнать обещанную простую формулу для нахождения производной параметрически заданной функции.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу - требуемая в условии задачи производная параметрически заданной функции, в числителе - производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе - производная первой из функций. Формула доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.

Проверить решение можно на калькуляторе параметрической функции онлайн.

Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить? Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента. Результатом их применения и будет требуемая в задании производная параметрически заданной функции:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Проверить решение можно на калькуляторе параметрической функции онлайн.

Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция, причёсываем" степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом, получаем производную данной параметрически заданной функции:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Поделиться с друзьями

Производные

Функции несольких переменных