Частные производные и полный дифференциал
Понятие частной производной
Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:
(где y = const),
(где x = const).
Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн.
Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).
Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.
Понятие непрерывности функции z = f(x, y) в точке
определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.
Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке
если
(1)
где
(2)
Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).
Пусть заданы функция z = f(x, y) и точка
Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x, при фиксированном значении другого аргумента y, то функция получит приращение
(3)
называемое частным приращением функции f(x, y) по x.
Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.
Если существует конечный предел
то он называется частной производной функции f(x, y) по аргументу x и обозначается одним из символов
т.е.
(4)
Аналогично определяются частное приращение z по y:
(5)
и частная производная f(x, y) по y:
(6)
Пример 1. Найти частные производные функции
Решение. Находим частную производную по переменной "икс" (табличная производная 3):
(y фиксировано);
Находим частную производную по переменной "игрек" (тоже производная 3 в таблице производных):
(x фиксировано).
Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.
Пример 2. Дана функция
Найти частные производные
(по иксу)
и 
(по игреку) и вычислить их
значения в точке А (1; 2).
Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной):
.
При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции (формула 17 в таблице производных), а второго – как производная постоянной (формула 1):
.
Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.
Пример 3. Найти частные производные функции
.
Решение. В один шаг находим
(y фиксировано и является в данном случае множителем при x, как если бы аргументом синуса было 5x: точно так же 5 оказывается перед знаком функции);
(x фиксировано и является в данном случае множителем при y).
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.
Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.
Если каждому набору значений (x; y; ...; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, ..., t и обозначают u = f(x, y, ..., t).
Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.
Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.
Пример 4. Найти частные производные функции
.
Решение. y и z фиксированы:
,
x и z фиксированы:
,
x и y фиксированы:
Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 5. Найти частные производные функции
.
Пример 6. Найти частные производные функции
.
Пример 7. Найти частные производные функции
.
Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной, - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.
Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией
где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.
Частная производная функции П по R, равная
показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.
Частная производная П по N, равная
показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.
Полный дифференциал
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:
и т.д.
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством
(7)
Пример 9. Найти полный дифференциал функции
Решение. Результат использования формулы (7):
Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 10. Найти полный дифференциал функции
трёх переменных
x, y, z.
Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.
Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.
Теорема. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
и
в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).
Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции, так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.
Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид
(8)
где α и β – бесконечно малые при
и
.
Частные производные высших порядков
Частные производные
и
функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.
При этом употребляются следующие обозначения:
- производные от
по x и y.
Эти же производные можно записать и в другой форме:
Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f(x, y). От них можно опять взять производные. Например,
есть частная производная третьего порядка функции f(x, y), взятая один раз по x и один раз по y.
Новых правил для составления частных производных высших порядков не требуется: производные составляются постепенно одна за другой, причём для смешанных частных производных справедлива следующая теорема.
Теорема. Если смешанные частные производные 
и 
непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают.
Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.
Пример 11. Найти частные производные 
и 
функции 
и убедиться в равенстве этих частных производных.
Решение:
;
;
;
.
Как видно из решения, смешанные частные производные равны.
Пример 12. Для функции
вычислить частную производную
Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:
а третье – по y:
Поделиться с друзьями
