Что такое производная
Понятие производной
Производная - главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x
Производной функции 
в точке 
называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
То есть,
(1)
Наиболее употребительны следующие обозначения производной:
Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
.
Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.
Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:
.
Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:
Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:
Физический смысл производной
К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле - задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.
Пусть камешек поднят и затем из состояния покоя отпущен. Путь s, проходимый
за время t, является функцией времени, то есть. s = s(t). Если задан закон движения точки,
то можно определить среднюю скорость за любой промежуток времени. Пусть в момент времени 
камешек находился в положении A, а в момент 
-
в положении B. За промежуток времени 
(от t до 
)
точка прошла путь 
.
Поэтому средняя скорость движения за этот промежуток времени, которую обзначим через 
,
составляет
.
Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения
постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути.
Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени .
Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t)
называется предел средней скорости при 
:
(при условии, что этот предел существует и конечен).
Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t)
к приращению аргумента t при
Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.
.
Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.
Шаг 1. Дадим аргументу приращение 
и найдём
Шаг 2. Найдём приращение функции:
Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:
Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при 
, то есть производную:
Геометрический смысл производной
Пусть функция 
определена на интервале 
и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента 
, а точка Р – значению 
. Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей. Обозначим через 
угол между секущей и осью 
. Очевидно, что этот угол зависит от 
.
Если существует
то прямую с угловым коэффициентом
проходящую через точку 
, называют предельным положением секущей МР при 
(или при 
).
Касательной к графику функции 
в точке М называется предельное положение секущей МР при 
, или, что то же при 
.
Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел
,
причём предел 
равен углу наклона касательной к оси 
.
Теперь дадим точное определение касательной.
Касательной к графику функции 
в точке 
называется прямая, проходящая через точку 
и имеющая угловой коэффициент 
, т.е. прямая, уравнение которой
Из этого определения следует, что производная функции 
равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:
где 
- угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.
Пример 3. Найти производную функции 
и значение этой производной при 
.
Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Выражение под знаком предела не определено при 
(неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:
Найдём значение производной при 
:
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
