"Чистая"
и прикладная математика

Производная произведения и частного функции

Формула производной произведения функции имеет вид .

Формула производной частного функции имеет вид .

Однако было бы наивно надеяться, что на контрольной или экзамене Вам обязательно попадётся пример на нахождение производной такого частного:
, где легко подставить простенькое выражение в формулу и выдать правильное решение.

В реальных задачах требуется найти производную таких произведений и частных, в которые вкрались тригонометрические выражения и логарифмы, не говоря уже о множителях (константах), и вообще о том, что может содержать произведение или частное функции. Поэтому примеры нахождения производной произведения и частного функций вынесены в эту отдельную статью.

Пример 1.Найти производную функции

.

Решение. От нас требуется найти производную произведения функций. Прежде всего вынесем множитель 2 за знак производной:

.

Теперь применяем формулу дифференцирования произведения:

Приводим слагаемые в скобках к общему знаменателю:

В числителе первого слагаемого можно заметить знакомое по школьной математике выражение двойного угла:

Существует также известное из школьной математики тождество:

.

Подставляем его в наш промежуточный результат и получаем:

.

Производная данного произведения найдена.

Пример 2.Найти производную функции

Решение. Перед нами сумма частных. Следовательно, каждое слагаемое будет дифференцировано как частное. Применяем правило дифференцирования частного, не забывая, чему равны производные числа(константы) и самой переменной x:

Пример 3.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Находим производную произведения в числителе:

Шаг 3. Находим производную суммы:

Шаг 4. Находим производную функции:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на x:

Пример 4.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:

Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:

Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):

Искомая производная:

Пример 5.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Дифференцируем по правилам для произведения и показательной функции (формула 17 в таблице производных):

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Вновь настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"