Производная произведения и частного функции
Формулы производной произведения и частного функции
Формула производной произведения функции имеет вид 
.
Формула производной частного функции имеет вид 
.
Однако было бы наивно надеяться, что на контрольной или экзамене Вам обязательно
попадётся пример на нахождение производной такого частного:
,
где легко подставить простенькое выражение в формулу и выдать правильное решение.
В реальных задачах требуется найти производную таких произведений и частных, в которые вкрались тригонометрические выражения и логарифмы, не говоря уже о множителях (константах), и вообще о том, что может содержать произведение или частное функции. Поэтому примеры нахождения производной произведения и частного функций вынесены в эту отдельную статью.
Пример 1.Найти производную функции
.
Решение. От нас требуется найти производную произведения функций. Прежде всего вынесем множитель 2 за знак производной:
.
Теперь применяем формулу дифференцирования произведения:
Приводим слагаемые в скобках к общему знаменателю:
В числителе первого слагаемого можно заметить знакомое по школьной математике выражение двойного угла:
Существует также известное из школьной математики тождество:
.
Подставляем его в наш промежуточный результат и получаем:
.
Производная данного произведения найдена.
Найти производную произведения функций самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2.Найти производную функции
.
.Производная суммы частных
Пример 4.Найти производную функции
Решение. Перед нами сумма частных. Следовательно, каждое слагаемое будет дифференцировано как частное. Применяем правило дифференцирования частного, не забывая, чему равны производные числа(константы) и самой переменной x:
Пример 5.Найти производную функции
Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:
Шаг 2. Находим производную произведения в числителе:
Шаг 3. Находим производную суммы:
Шаг 4. Находим производную функции:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на x:
Найти производную частного функций самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6.Найти производную функции
.
.Продолжаем решать задачи вместе
Пример 8.Найти производную функции
Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:
Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:
Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):
Искомая производная:
Проверить решение именно Вашей задачи можно на калькуляторе производных.
Пример 9.Найти производную функции
Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:
Шаг 2. Дифференцируем по правилам для произведения и показательной функции (формула 17 в таблице производных):
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на 
:
Вновь настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
- Что такое производная
- Найти производную
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
