Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b - длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как 
и
.
На чертеже ветви гиперболы - бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки 
и
, где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Решение.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет 
.
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24. А эксцентриситет - это пропорция и так как a = 24, то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26. Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат - каноническое уравнение гиперболы:
Если 
-
произвольная точка левой ветви гиперболы (
) и
-
расстояния до этой точки от фокусов 
, то
формулы для расстояний - следующие:
.
Если 
-
произвольная точка правой ветви гиперболы (
) и
-
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний - следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже - прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где 
-
расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, 
-
расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и 
и 
-
расстояния этой точки до директрис 
и
.
Пример 4. Дана гипербола
.
Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется
найти эксцентриситет гиперболы, т. е. 
.
Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке "Эллипс" это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот - прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты - прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где 
.
В том случае, когда угол между асимптотами - прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x, то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы
и координаты
точки 
, лежащей
на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы - это пропорция, следовательно,
нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения 
.
Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M
x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того,
умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4, а один из фокусов в точке (5; 0)
посмотреть правильное решение и ответ,
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
посмотреть правильное решение и ответ,
3) один из фокусов в точке (-10; 0),
уравнения асимптот гиперболы 
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
Поделиться с друзьями
