Выражение, вычисляемое в цикле for: как его написать
С помощью циклов, в частности, цикла for, одно и то же выражение можно вычислить многократно. Этот урок как раз посвящён искусству написания этих выражений, вычисляемых в цикле for. Метод, применяемый здесь, называется методом математической индукции.
Описанию конструкции цикла for уделено немало внимания на многих сайтах, поэтому повторим лишь основное.
Цикл for имеет следующий формат:
Написание выражений, вычисляемых в цикле for, должно удовлетворять следующим требованиям:
- однозначность;
- универсальность: выражение должно годиться и тогда, когда мы меняем условие, то есть значение, до которого следует производить вычисления;
- экономия ресурсов системы при вычислении.
Самый простой случай - в задаче требуется подсчитать сумму целых положительных чисел от 1 до 100. В этом случае вычисляемое выражение в сигма-обозначении (обозначаемое греческой буквой сигма - ∑) выглядит так:
.
Код для этого случая вычисления:
Во всех случаях, чтобы написать цикл for, нужно определить начальное значение, условие (до какого значения переменной цикла следует производить вычисления), приращение и собственно вычисляемое выражение.
Пример 1. Используя сигма-обозначение, найти общее
выражение для суммы 
и написать цикл for для её вычисления.
Решение. В данной сумме все числа чётные и каждое следующее число больше предыдущего на 2. Это означает, что 1) в общей формуле можно использовать умножение на 2; 2) шаг цикла for (приращение) равен 1; 3) условие (шаг, до которого следует производить вычисления) равно 5. Таким образом, получаем следующее выражение в сигма-обозначении:
.
Код с циклом for для данного примера:
Пример 2. Используя сигма-обозначение, найти общее
выражение для суммы 
и написать цикл for для её вычисления.
Решение. В данной сумме все числа нечётные и каждое следующее число
больше предыдущего на 2. Если уменьшить все числа на 1, то получаем ряд чётных чисел,
как в примере 1. Если разделить все полученные числа на 2, то получим ряд
.
Таким образом, получаем следующее выражение в сигма-обозначении:
Код с циклом for для данного примера:
Пример 3. Используя сигма-обозначение, найти общее
выражение для суммы 
и написать цикл for для её вычисления.
Решение. По сути требуется правильно найти начальное значение и
приращение цикла for. Применяем формулу общего элемента 
к первым числам и получаем
.
Таким образом, основа первого элемента в сумму равна 3 и каждый следующий элемент
больше предыдущего на 1, то есть, приращение цикла for равно 1. Получаем следующее выражение в сигма-обозначении:
Код с циклом for для данного примера:
Пример 4. Используя сигма-обозначение, найти общее
выражение для суммы 
и написать цикл for для её вычисления.
Решение. Сразу замечаем, что в этой сумме чередуются знаки.
Значит, в общем выражении должно присутствовать 
.
Смотрим на два первых элемента: первый (21) можно разделить на 3 и на 7, но это ничего
не даёт в случае второго (25). Однако если вычесть 1 из 21 и из 25, получим числа,
которые делятся нацело на 4: 20 и 24. Проверяем это для двух следующих чисел: 28 и 32 также
делятся на 4 и мы получаем такой ряд: 
.
Следовательно, приращение цикла for равно 1. Таким образом, получаем следующее выражение в сигма-обозначении:
Код с циклом for для данного примера:
Поделиться с друзьями
