Возведение комплексного числа в степень, корень из комплексного числа
Возведение комплексного числа в степень
На этом уроке рассмотрим более сложные действия над комплексными числами - их возведение в степень и извлечение из них корня. Впрочем, почти все задачи по этой теме выполняются за одно действие: надо применять соответствующую формулу и следить за правильностью арифметических действий при ее применении.
Если комплексное число задано в алгебраической форме, то для возведения
числа 
в степень
n достаточно применить к к выражению 
формулу бинома Ньютона:
Пример 1. Возвести комплексное число
в степень 3.
Решение. Применяя формулу бинома Ньютона, получаем:
Если комплексное число задано в тригонометрической форме, то для возведения его в степень используется формула Муавра:
,
т. е. при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример 2. Возвести комплексное число
в степень 4.
Решение. По формуле Муавра получаем:
Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа - не однозначное действие. У корня n-й степени из комплексного числа, отличной от нуля, существуют n различных значений, которые вычисляются по формуле
,
где k=0, 1, 2, ..., n-1.
Пример 3. Извлечь корень 3-й степени из комплексного числа
.
Решение. По приведённой в теоретической части формуле получаем:
Все 3 значения корней будут следующими:
;
;
.
Пример 4. Извлечь квадратный корень из комплексного числа i.
Решение. По приведённой в теоретической части формуле получаем:
Все 2 значения корней будут следующими:
;
;
