Комплексные числа: основы. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексные числа - это числа вида a + bi, где a и b - действительные числа, а i - число особого рода, квадрат которого равен минус единице: i²=−1.
Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом i² заменяют на −1.
Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть
x² + 1 = 0.
Задача такова: нужно расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой это уравнение обладало бы корнем.
Решение: x² = - 1, x =√-1,
где √-1 - квадратный корень из минус единицы - мнимая единица, обозначаемая буквой i.
Название "мнимые числа" ввёл в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. А в 1777 году один из крупнейших математиков того времени Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова "imaginaire" (мнимый) для обозначения числа √-1 "мнимой единицы".
Продвинемся ещё на шаг к алгебрической форме записи комплексных чисел. Квадратное уравнение
имеет корни 
и
, где
i = √-1 - квадратный корень
из минус единицы.
Таким образом, у комплексных чисел есть действительная и мнимая части. В алгебраической записи комплексного числа a + bi есть действительная часть a и мнимая часть bi.
В литературе наиболее часто встречается именно такая обобщённая алгебраическая форма комплексного числа: z = a + bi. Но сейчас мы применим запись z = x + yi только для того, чтобы было более понятно отображение комплексного числа в привычной системе координат с осями x и y.
Отображая на плоскости горизонтальную ось x как ось действительных чисел, а вертикальную ось y как ось мнимых чисел, можно любое комплексное число z = x + yi отобразить как точку P в декартовой системе координат (рисунок ниже).
Поэтому возможна и запись комплексного числа в тригонометрической форме:
,
где 
-
модуль комплексного числа, 
(аргумент комплексного числа) - угол, который радиус-вектор
образует с осью Ox. Теперь мы видим, что более подходящим
является сравнение записи комплексного числа в тригонометрической форме с отображением точки в
полярной системе координат.
Обобщим ещё раз понятие модуля и аргумента комплексного числа.
Модуль комплексного числа - это расстояние от начала координат до точки, в виде которой
отображается комплексного числа или, что то же самое - длина радиус-вектора
.
Аргумент комплексного числа - это угол, который радиус-вектор
образует с осью Ox.
Теперь о том, как перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической. Доказано, что
и
.
Поэтому можем легко найти косинус и синус аргумента комплексного числа:
,
.
Пример 1. Найти тригонометрическую форму числа
.
Решение. Сначала найдём модуль комплексного числа. Для этого в соответствии с
обобщенной записью числа z = a + bi запишем
данное число как z = 1 + 1i,
где a = 1 и b = 1.
Из этого получаем модуль данного числа - квадратный корень из 1 + 1 = 2, что равно
. Чтобы
определить аргумент числа, учтём, что 
и
.
То есть, значение угла
равно 
.
Поэтому получаем тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа 1.
Возможны возражения: 1 - это же обычное, точнее, действительное число.
Это так. Но это число можно представить и как комплексное число 
, то есть,
комплексное число, в котором a = 1 и b = 0.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Следовательно, аргумент комплексного числа 
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 3. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа 
.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Для нахождения угла с таким косинусом и таким синусом повернём воображаемый циркуль
от угла 0 до 
и ещё на 
.
Получаем 
.
Следовательно, аргумент комплексного числа 
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 4. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа 
.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
определяется однозначно: 
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 5. Найти тригонометрическую форму комплексного числа -3.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
определяется однозначно: 
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 6. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа 
.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Чтобы найти угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
отвыкшим от школьных лет и тригонометрии, возможно, придётся чуть побольше попыхтеть, вращая
воображаемый циркуль по координатной плоскости. Вот они, шаги вычисления угла:
поворачиваем циркуль на 
, затем
на 
и на
Получаем
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
Пример 7. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа 
.
Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём 
и
.
Шаги вычисления угла, то есть аргумента:
поворачиваем циркуль на , затем
на и на
Получаем
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:
.
