Бесконечно малые функции
Понятие бесконечно малых функций
Функция 
называется бесконечно малой при 
("икс нулевое" здесь - число или бесконечность), если
1) это понятие относится только к функциям, имеющим пределом нуль. Никакое фиксированное число, кроме нуля, не может быть бесконечно малым. Например, число 
при некоторых условиях можно считать очень малой величиной, но не бесконечно малой, так как это – величина постоянная. Нуль – единственная постоянная, которая является бесконечно малой величиной, поскольку
2) функция может быть бесконечно малой только в определённой точке, а именно - обозначенной выше как "икс нулевое".
Примерами бесконечно малых функций могут служить:1) длина хорды круга по мере удаления её от центра, так как предел этой функции равен нулю;
2) 
при 
, так как
3) 
при 
, поскольку
.
Из теорем о пределах следует, что сумма (разность) и произведение двух бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Об отношении двух бесконечно малых функций никакого общего заключения сделать нельзя.
Отношение двух бесконечно малых функций в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой величиной, или бесконечностью.
Правила сравнения бесконечно малых функций
Пусть при 
функции
и 
являются бесконечно малыми. Тогда:
1) если 
, то
- бесконечно малая функция более высокого порядка, чем
(или, что то же самое, имеет более высокий порядок малости, чем
при );
2) если 
(A - число),
то и -
бесконечно малые функции одного порядка;
3) если 
, то
и -
эквивалентные бесконечно малые функции. Эквивалентность бесконечно малых функций обозначается так: 
.
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых функций является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно ещё оценить, как высок этот порядок. Для этого существует следующее правило:
4) если 
, то
бесконечно малая функция n-го порядка
относительно .
Пример 1. Сравнить бесконечно малые функции 
и x при 
.
Решение. Данные функции при данном условии являются эквивалентными бесконечно малыми, так как 
.
Пример 2. Сравнить бесконечно малые функции 
и при .
Решение. Данные функции при данном условии являются бесконечно малыми одного порядка, так как
Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при
, 
и 
.
Эквивалентные бесконечно малые функции
Итак, как уже замечалось, если , то
и -
эквивалентные бесконечно малые функции. Эквивалентные - значит, равносильные. Во многих задачах на вычисление пределов можно заменить некоторую бесконечно малую
функцию, эквивалентной другой бесконечно малой функции. Это здорово помогает упростить решение задачи и сократить время решения.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
(
)
7) 
8) 
()
9) 
Пример 3. Привести 
к первому замечательному пределу путём
использования эквивалентных бесконечно малых функций
Решение. Применяя эквивалентные бесконечно малые функции и , получаем:
.
| Назад<<< | Листать | Вперёд>>> |
