"Чистая"
и прикладная математика

Задача линейного программирования: определения, модели, примеры, основные теоремы

Задача линейного программирования: основные определения

Примеры формулировки (модели) задач линейного программирования

Сведение любой задачи линейного программирования к канонической

Основные теоремы линейного программирования

Задача линейного программирования: основные определения

Линейное программирование – метод решения задач оптимизации.

В первых оптимизационных задачах требовалось выяснить, сколько различных изделий нужно произвести, чтобы получить максимальный доход, если известно количество ресурсов (сырья, рабочего времени, оборудования) и цены, по которым можно реализовать готовые изделия. Другой вид задач – выяснить, при каких условиях свести расходы к минимуму (это, например, задача о питании). Таким образом, общая задача линейного программирования – это задача, в которой требуется найти максимум или минимум (оптимум) функции, называемой функцией цели, при ограничениях, заданных системой линейных неравенств или уравнений.

При этом переменные должны принимать неотрицательные значения (то есть положительные либо нулевые), с некоторыми исключениями, о которых чуть ниже, но они, как водится, подтверждают правило.

Функция цели обычно записывается так:

.

Или в сокращённом виде с сигмой:

.

Можно встретить обозначение целевой функции и через C, и через F.

Система ограничений в задаче линейного программирования обычно записывается так:

.

Или в сокращённом виде:

И система ограничений, и целевая функция имеют линейный характер, то есть содержат переменные только в первой степени.

Канонической задачей линейного программирования называется задача, в которой требуется найти максимум целевой функции при ограничениях, заданных системой линейных уравнений. Если все или некоторые ограничения в системе заданы неравенствами, то задачу можно свести к канонической путём преобразования неравенств в уравнения.

Множество чисел (запись последовательности иксов), удовлетворяющих системе ограничений, называется решением этой системы. Решение системы также часто называется планом, и немного реже – программой, но именно отсюда и пошло название «линейное программирование».

Оптимальным решением задачи линейного программирования называется решение системы, при которых функция цели обращается в максимум или минимум, в зависимости от условия задачи, или в общем смысле – в оптимум.

Решение задачи линейного программирования называется вырожденным, если в нём некоторые переменные равны нулю. В противном случае решение является невырожденным.

Как было отмечено выше, решения задачи линейного программирования должны быть неотрицательными, а сейчас о примере исключения из этого правила. Если переменные (икс с индексом) означают наличность фирмы, которую требуется направить на различные нужды, но по некоторым статьям фирма должна денег больше, чем имеет, то тогда можно допустить, что соответствующие переменные – отрицательные.

К приведённым определениям следует добавить следующее правило, имеющее практическое значение. Для того чтобы решение задачи имело смысл, ограничения задачи линейного программирования должны быть заданы в одних и тех же единицах. Например, если фигурантами задачи линейного программирования являются трудодни, то необходимо определить, идёт ли речь о трудоднях в неделю или в месяц и определённого уточнения придерживаться на всём протяжении решения задачи.

Задачи линейного программирования в случае двух переменных можно решить и графическим методом, в случаях, когда переменных больше, применяется симплекс-метод.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Примеры формулировки задачи линейного программирования

Разберём несколько типов экономических задач и запишем их в виде математических соотношений. Или, говоря иначе, построим математическую модель предметной области.

Для этого, как следует из предыдущего параграфа, надо так представить предметную область, чтобы получить следующие атрибуты задачи линейного программирования.

Целевая функция. Её нужно максимизировать или минимизировать. Для того, чтобы функцию максимизировать, переменные, являющиеся её слагаемыми, должны принимать как можно большие значения в соответствии с условиями задачи. При минимизации - наоборот, меньшие. Обычно целевая функция выражает доходы или расходы.

Переменные. Каждая переменная, как правило, означает запасы одного из производственных факторов - вида сырья, времени, рабочей силы, технологических возможностей или чего-либо другого.

Ограничения. Очень просто. Например, в каждом уравнении (неравенстве) заданы ограничения перечисленных выше или других запасов, используемых для производства определённого вида продукции.

Пример 1. Схема задачи использования сырья.

Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.

Для изготовления двух видов продукции и требуется четыре вида ресурсов (сырья): , , , . Запасы сырья - соответственно , , , единицы.

Доход от реализации одной единицы продукции равен у. е., а доход от реализации одной единицы продукции равен у. е. Требуется получить наибольший доход от изготовления продукции и , то есть, узнать, сколько единиц и сколько единиц нужно изготовить из имеющегося запаса сырья, чтобы получить максимальный доход.

Решение. Для удобства сначала все данные запишем в виде таблицы:

Виды сырья Запасы сырья Виды продукции
Доход от реализации одной единицы продукции

Тогда на основании таблицы запишутся неравенства (ограничения):

В самом деле, для изготовления каждой единицы продукции необходимо единиц сырья , а для изготовления единиц требуется единиц сырья . Для изготовления единиц продукции требуется единиц сырья . Так как запасы сырья составляют , то расход не может превышать . В результате получим первое неравенство:

Из остальных строк таблицы составим ещё 3 неравенства системы.

Доход от реализации единиц продукции по у. е. за каждую единицу составляет у. е. Аналогично доход от реализации единиц продукции по у. е. за каждую единицу составит у. е. Тогда суммарный доход от реализации двух видов продукции и запишется в виде . В задаче требуется найти максимальный доход, то есть найти максимум функции цели .

На нашем сайте есть решение числового примера этой задачи графическим методом.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!


Пример 2. Схема задачи о питании.

Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.

Для нормального функционирования организма необходимо потреблять ежесуточно определённое количество питательных веществ: жиров, белков, углеводов, витаминов. Они содержатся в разных продуктах в различных количествах. Пусть стоимость одной единицы продукта соответственно составляет , , . Нужно так организовать питание, чтобы организм получал необходимое количество питательных веществ, а стоимость питания была бы наименьшей.

Решение. Строим таблицу:

Питательные вещества Норма Продукты
Ж
Б
У
В
Стоимость питательных веществ

В таблице выше, например, число означает количество белков, содержащихся в одной единице продукта . Число - это суточная норма потребления углеводов и т. д.

Запишем задачу в виде математических соотношений. В задаче неизвестно количество каждого вида продукта. Поэтому обозначим количество продукта буквой , количество продукта - буквой , количество продукта - буквой .

Получим систему неравенств (ограничений):

Требуется найти найти такое неотрицательное решение системы ограничений, при котором функция цели обращалась бы в минимум.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.


Пример 3. Схема задачи об использовании мощностей оборудования.

Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.

Предприятию требуется за время T выпустить N1 единиц продукции П1 и N2 единиц продукции П2. Каждый из этих двух видов продукции может производиться тремя машинами A, B, C. Составить оптимальный план работы машин, то есть найти время загрузки машин A, B, C, с тем расчётом, чтобы стоимость изготовления всей продукции предприятием оказалась минимальной.

Мощность машин задана следующей таблицей:

МашиныП1П2
A
B
C

В этой таблице - количество единиц продукции, производимое за единицу времени.

Цена одной единицы рабочего времени на изготовление одной единицы продукции на каждой машине задана следующей таблицей:

МашиныП1П2
A
B
C

В этой таблице, например, число означает цену одной единицы рабочего времени машины B, затрачиваемой на изготовление одной единицы продукции П1.

Запишем задачу в виде математических соотношений. Неизвестным является время загрузки машин по производству продукции. Обозначим через время загрузки машины A по изготовлению продукции П1, через - время загрузки машины A по изготовлению продукции П2. Аналогично - время загрузки машины B по изготовлению продукции П1, - время загрузки машины B по изготовлению продукции П2, - время загрузки машины C по изготовлению продукции П1, время загрузки машины C по изготовлению продукции П2.

Машины A, B, C работают одновременно, значит если обозначим время одновременной работы всех трёх машин буквой T, то получим систему неравенств:

Машина A изготовлением продукции П1 занята единицы времени на единицы продукции. Машина B изготовлением П1 занята единицы времени по единицы продукции.

Аналогично машина C изготовлением П1 занята единицы времени, по единицы продукции и т.д. Всего нужно N1 единиц продукции П1 и N2 единицы П2.

То есть получаем ещё одну систему:

Тогда общая стоимость всей продукции запишется в виде равенства:

.

Окончательно получаем систему ограничений, состоящую из соотношений:

Задача заключается в том, чтобы найти такое неорицательное решение последней из приведённых систем, чтобы целевая функция C приняла минимальное значение.

Пример 4. Транспортная задача (схема).

Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.

На двух станциях отправления и имеется соответственно и единиц некоторого груза. Этот груз следует доставить в три пункта назначения , , и в каждый из них должно быть завезено соответственно , , единиц этого груза. Стоимость перевозки одной единицы груза из пункта в пункт равна .

Составить такой план перевозок, чтобы общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Решение. Считаем, что запас всего груза на обоих пунктах отправления равен потребности в этом грузе на всех трёх пунктах назначения, т. е.

Запишем задачу в виде математических соотношений. Количество единиц груза, отправляемых из пункта в пункт , обозначим и составим матрицу перевозок (таблицу):

Пункт отправления Пункт назначения Запас груза
Потребность в грузе

В таблице выше каждая клетка для пункта назначения разделена на две части. В верхней части записана стоимость перевозки, а в нижней - количество груза. Например, в клетке (в клетке, расположенной на пересечении строки ) со столбцом ) число означает стоимость перевозки из пункта в пункт .

Тогда система ограничений запишется в виде уравнений:

Цель задачи - найти неотрицательное решение системы уравнений, при котором функция цели была минимальной.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Сведение любой задачи линейного программирования к канонической

В большинстве задач линейного программирования ограничения задаются не в виде системы уравнений, а в виде системы линейных неравенств, причём возможны различные формы таких систем: левая часть меньше или равна (меньше) правой, левая часть больше или равна (больше) правой. Кроме того, система ограничений может быть смешанной: часть ограничений неравенства первого из вышеназванных типов, части - второго типа, а часть задана в виде уравнений.

Однако любую систему ограничений можно свести к системе уравнений. Для этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить, если система первого типа, или отнять, если система второго типа, некоторое неотрицательное число - добавочную переменную, чтобы каждое неравенство превратилось в уравнение. Эти действия называются сведением задачи линейного программирования к канонической.

Пример 5. Записать систему неравенств

в виде уравнений для приведения задачи линейного программирования к канонической.

Решение. Прибавляя к левым частям неравенств по одной дополнительной переменной, получим систему уравнений:

Таким образом, как бы ни были первоначально заданы ограничения задачи линейного программирования, их всегда можно привести к системе уравнений, используя для этой цели добавочные переменные.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

На нашем сайте также даны примеры решения задач линейного программирования графическим методом без сведения задачи к канонической и симплекс-методом с предварительным сведением задачи к канонической.

Основные теоремы линейного программирования

Чтобы найти оптимальное решение среди бесчисленного множества допустимых решений системы ограничений в задаче линейного программирования, понадобится ряд теорем, к рассмотрению которых мы и переходим.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Множество решений задачи линейного программирования определяется совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой выпуклый многогранник или неограниченную многогранную область, за исключением тех случаев, когда система ограничений несовместна.

О том, что такое выпуклые множества - на уроке Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек.

Теорема 2. Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений.

Эта теорема позволяет сделать вывод, что поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек. Однако для отыскания угловых точек требуется построение области решений системы ограничений. Это построение возможно только для двух- или трёхмерного пространства, а в общем случае задача остаётся неразрешимой. Следовательно, нужно располагать каким-то аналитическим методом, позволяющим находить координаты угловых точек. Для этого понадобятся следующие две теоремы.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений.

Теорема 4 (обратная). Каждой угловой точке множества допустимых решений системы ограничений соответствует допустимое базисное решение.

Следствие. Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одним из допустимых базисных решений системы ограничений.

Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 2 и 4.

Итак, оптимум линейной формы нужно искать среди конечного числа допустимых базисных решений. Однако даже в простейших задачах линейного программирования (при небольших значениях m и n) нахождение оптимального решения путём рассмотрения всех базисных решений является крайне трудоёмким процессом, поскольку число базисных решений может быть весьма велико. Поэтому нужна какая-то вычислительная схема, позволяющая осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, при котором линейная форма или приблизилась к оптимуму, или, по крайней мере не изменила своего значения. Такой вычислительной схемой является, например, симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Продолжение темы "Линейное программирование"

Графический метод решения задач линейного программирования

Пример задачи линейного программирования: задача использования ресурсов, её графическое решение

Симплекс-метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм

Симплекс-метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм

Симплекс-метод: случай, когда максимум целевой функции - бесконечность

Симплекс-метод: случай, когда система не имеет ни одного решения

Симплекс-метод: случай, когда оптимальное решение - не единственное

Поделиться с друзьями