"Чистая"
и прикладная математика

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторное произведение векторов

Правые и левые тройки векторов

Смешанное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е.

;

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Правые и левые тройки векторов

Для того, чтобы получить векторное произведение двух векторов, необходимо, чтобы:

1) векторы были не коллинеарны;

2) векторы были взяты в определённом порядке.

Определённый порядок связан с понятием упорядоченных троек векторов. В этой тройке два вектора - перемножаемые векторы, а третий - векторное произведение этих векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим.

При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым - вектор и третьим - вектор .

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трёх условий:

1. если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

2. если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами и , откуда кратчайший поворот от к представляется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3. если, находясь внутри телесного угла, образованного приведёнными к общему началу векторами , , , мы видим поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Условия 1, 2 и 3 эквивалентны между собой. С помощью каждого из приведённых условий можно убедиться в том, что тройка , изображённая на рис. 1, является правой, а тройка , изображённая на рис. 2, является левой.

Замечание. Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных векторов.

Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то принято считать, что эти тройки одной ориентации. В противном случае - две тройки противоположной ориентации.

Всего из трёх векторов , и можно составить следующие шесть троек:

;  ;    (1)

;  ;    (2)

С помощью условия 3 определения 2 легко проверить, что все три тройки (1) той же ориентации, что и тройка , а все три тройки (2) имеют ориентацию, противоположную .

Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Пример 1. Найти длину векторного произведения векторов векторов и , если

Решение:

Итак, в чём главное отличие векторного произведения двух векторов от уже рассмотренного нами скалярного произведения? В том, что скалярное произведение двух векторов - это число, а векторное произведение векторов - это вектор.

Пример 2. Вычислить векторное произведение векторов , если их длины и , а скалярное произведение .

Решение. Была бы очень простая задача, как в примере 1, но нам не дан синус угла между векторами. Однако из отношения скалярного произведения к произведению длин векторов можем найти косинус этого угла:

.

Синус угла между векторами можем выразить через косинус по известному из школьного курса тригонометрическому тождеству:

.

Теперь для вычисления векторного произведения векторов у нас есть всё. Вычисляем:

.

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю векторного произведения этих векторов.

Теорема 2. Длина (или модуль) векторного произведения векторов равна площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и .

Следствие. Площадь треугольника, построенного на приведённых к общему началу векторах и , равна половине длины векторного произведения этих векторов.

Пример 3. Найти

1) площадь параллелограмма, построенного на векторах и из примера 1;

2) площадь треугольника, построенного на тех же векторах.

Решение:

1) из примера 1, где была найдена длина векторного произведения данных векторов, получаем,

2) площадь искомого треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, или, что то же самое, половине площади параллелограмма, т.е.


Пример 4. Вычислить площадь треугольника ABC, если известны координаты его вершин:
A (3; 1; -1), B (-1; 0; 2), C (3; 2; -2).

Решение. Найдём координаты векторов и :

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, на которых он построен. Найдём векторное произведение векторов через их координаты:

То есть, координаты вектора, являющегося векторным произведением исходных векторов:

, откуда найдём его длину:

Теперь получим искомую сумму треугольника:

.


Алгебраические свойства векторного произведения векторов

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство);

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство);

4. для любого вектора .

Выражение векторного произведения векторов в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

, ,

то векторное произведение этих векторов имеет вид

   (1).

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель и переписать формулу в виде

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим разложение вектора по базису i, j, k, эквивалентное (1).

Пример 5. Найти:

1) координаты векторного произведения векторов ;

2) длину векторного произведения векторов ,

если

Решение:

1)

Это означает:

2)

Двойное векторное произведение векторов

Пусть даны три произвольных вектора , и . Если вектор векторно умножается на вектор , а вектор также векторно умножается на векторное произведение , то получающийся при этом вектор называется двойным векторным произведением.

Смешанное произведение векторов

Определение. Пусть даны три произвольных вектора , и . Если вектор векторно умножается на вектор , а затем получившийся при этом вектор скалярно умножается на вектор , то в результате получается число , называемое смешанным произведением векторов , и .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 3. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы , и компланарны, то равно нулю.

Следствие 1. Справедливо равенство .

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3. Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Теорема 4. Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

, , ,

то смешанное произведение

равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

Пример 6. Даны векторы:

.

Найти:

1) смешанное произведение векторов;

2) объём параллелепипеда, построенного на данных трёх векторах;

3) объём трехугольной пирамиды, построенной на данных трёх векторах.

Решение:

1)

2)

3)

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов , и является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов, т.е. равенство

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Начало темы "Векторы"

Векторы: определения и действия над векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Скалярное произведение векторов

Линейная зависимость векторов. Базис