"Чистая"
и прикладная математика

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярное произведение двух векторов

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов

Угол между двумя векторами

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Согласно определению, формула выглядит так:    (1)

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны . Найти , если

Решение:

Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формулы выглядят так:

   (2)

или

   (3)

Частое применение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение двух векторов используется для расчёта работы постоянной силы.

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора А под действием постоянной силы F = B, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

  (переместительное свойство)

  (сочетательное относительно числового множителя свойство)

  (распределительное относительно суммы векторов свойство)

, если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Выражение скалярного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов

Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

.

Геометрические свойства скалярного произведения векторов

1. Два вектора называют ортогональными, если скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е.

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно, а тупой угол - тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 2. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы и как многочлены:

.

Итак, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.


Пример 3. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство скалярного произведения векторов нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:


Пример 4. Даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Векторы даны в координатах, поэтому скалярные произведения векторов будем вычислять путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Скалярное произведение векторов отрицательно, поэтому эти векторы образуют тупой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов равно нулю, поэтому эти векторы образуют прямой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x .


Угол между двумя векторами

Чтобы выразить скалярное произведение

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. По определению,

Итак, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора. В частности,

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

 

Подставляя в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов, получим

Получаем формулу угла между двумя векторами:

               


Пример 5. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла между векторами получаем:

Следовательно, .


Пример 6. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :


Пример 7. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов - условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы "Векторы").

Для векторов и :

 

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Таким образом, коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.


Таким образом, ортогональны векторы и и и .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"

Векторы: определения и действия над векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Продолжение темы "Векторы"

Линейная зависимость векторов. Базис

Векторное и смешанное произведение векторов