"Чистая"
и прикладная математика

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС. АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ

Линейная зависимость векторов

Базис. Аффинные координаты

Линейная зависимость векторов

Понятие линейной комбинации

Линейная комбинация - это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.

То есть, линейная комбинация - это выражение вида

,

где - какие угодно вещественные числа.

На рисунке сверху - линейная комбинация, представленная вектором , являющимся суммой векторов и , умноженных соответственно на 2 и 3.

Векторы являются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

Общие условия линейной зависимости векторов

Определение 1. Векторы , , ..., называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , ..., с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

.

Векторы , , ..., , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

Определение 2. Векторы , , ..., называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Теорема 1. Если хотя бы один из векторов , , ..., является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Теорема 2. Если среди n векторов какие-либо (n - 1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Линейные комбинации двух векторов

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).

Линейные комбинации трёх векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

.

Следствие 2. Если векторы , и не компланарны, то они линейно независимы.

Следствие 3. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).

Линейные комбинации четырёх векторов

Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство


Пример 1. Составить линейную комбинацию векторов

и

с коэффициентами  и .

Решение. Вычислим сначала произведения и :

Теперь находим линейную комбинацию:


Пример 2. Составить линейную комбинацию векторов

с коэффициентами

Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:


Пример 3.  Выяснить, являются ли векторы

и

линейно зависимыми.

Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа
и , чтобы

Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда

Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим

или

Таким образом, вектор

является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.

или

Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы. 


Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Базис. Аффинные координаты

Понятие базиса

Определение 1. Три линейно независимых вектора , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство

.   (2)

Аналогично определяется базис на некоторой плоскости.

Определение 2.. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в этой же плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в этой плоскости вектора найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

.   (3)

Справедливы следующие утверждения:

1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве,

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.

Определение 3.Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Базисом  n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.


Пример 4.  Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

 

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.


Разложение вектора по базису

Итак, пусть , и - произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что будет справедливо равенство

.   (2)

Принято называть равенство (2) разложением вектора по базису , , , а числа , и - координатами вектора относительно базиса , , .

Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Теорема 6. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются:

.

При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число:

.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.


Пример 5 Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид


Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).

Аффинные координаты

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора (относительно базиса , , .)

Так как каждый вектор может быть, и притом единственным способом, разложен по базису , , , то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат , , .

Декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"

Векторы: определения и действия над векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Скалярное произведение векторов

Продолжение темы "Векторы"

Векторное и смешанное произведение векторов