"Чистая"
и прикладная математика

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру t в пункте p земной поверхности P. Таким образом, возникает температурная функция , аргументом которой является точка p поверхности P, а значением t = T(p) - температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку p характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например, широтой и долготой . После этого вместо t = T(p) пишут , где теперь t, , - числа. И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных - и , поэтому такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция трёх переменных: две первые (, ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя - H - задаёт высоту, на которой оно выполняется.

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами x и y выражается формулой S = xy. Каждой паре значений x и y соответствует определённое значение площади S. Площадь есть функция двух переменных: S = f(x, y).

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной.

Остановимся на функции двух переменных.

Если каждой упорядоченной паре чисел x, y из множества D ставится в соответствие одно и только одно определённое число z из множества E, то z называется функцией двух независимых друг от друга переменных x и y и обозначается z=f(x, y).

Множество D называется областью определения функции z, а множество Eмножеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

Соответствует частное значение функции


Пример 2. Объём V прямоугольного параллелепипеда с рёбрами x, y и z выражается формулой V = xyz. Каждой тройке значений x, y, z соответствует определённое значение объёма V. Объём есть функция трёх переменных: V = f(x, y, z).


Пример 3. Рассмотрим производственную функцию (двухфакторную модель экономического роста)

где - национальный доход за год t; a – показатель приведения к единому масштабу продукции, затрат фондов и труда, оценивающий влияние на рост национального дохода неучтённых в модели факторов; - объём проиводственных фондов; - затраты живого труда в сфере материального производства; - показатели эластичности роста национального дохода в зависимости от роста производственных фондов и живого труда. Функция является функцией двух переменных:


Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных, а с помощью частных производных можно найти экстремумы функции нескольких переменных - у нас показано нахождение экстремумов функции двух переменных.

Пример 4.Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами

  

и

которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет


Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. Чаще всего используется аналитический способ, когда функция задаётся с помощью формулы. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости xOy.

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).

Ставя в соответствие каждой точке

аппликату z = f(x, y), мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхности. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.


Пример 5. Пусть задана функция

Её область определения найдём из равенства

т.е.

   

Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции

                                                                          

является верхняя половина сферы

(разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z:

и

(рис. выше).

Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (x; y; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (x; y; z) в пространстве соответствует точка М(x; y; z) и наоборот.

Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных u=f(x; y; z; t). В этом случае множество упорядоченных четвёрок чисел (x; y; z; t) образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (x; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.

Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных .


Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Весь блок "Производная"