"Чистая"
и прикладная математика

Функция двух и более переменных. Её область определения

Функции нескольких переменных: основные определения

Область определения функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных - пример из экономики

Функции нескольких переменных: основные определения

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X, Y и Z - множества. Если каждой паре (x, y) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z, то говорят, что задана функция двух переменных z = f(xy).

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (xy) плоскости xOy.

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(xy).

Ставя в соответствие каждой точке аппликату z = f(xy), мы получим некоторое множество точек (xyz) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхности. Поэтому равенство z = f(xy) называют уравнением поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (xyz) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (xyz) в пространстве соответствует точка М(xyz) и наоборот.

Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных u = f(xyzt). В этом случае множество упорядоченных четвёрок чисел (xyzt) образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (xyzt) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.


Забавный, хотя и нематематический случай функции нескольких переменных можно найти в романе Джерома К. Джерома "Трое в лодке, не считая собаки". Герой романа сообщает: "Как-то раз я зашёл в библиотеку Британского музея, чтобы навести справку о средстве против пустячной болезни, которую я где-то подцепил, - кажется, сенной лихорадки. Я взял справочник и нашёл там всё, что мне было нужно..." Итак, описана функция одной переменной - найти симптомы одного заболевания. Дальше: "... а потом, от нечего делать, начал перелистывать книгу, просматривая то, что там сказано о разных других болезнях." И герой находил у себя симптомы всех болезней, о которых читал: "Так я добросовестно перебрал все буквы алфавита, и единственная болезнь, которой я у себя не обнаружил, была родильная горячка". То есть, самая настоящая функция нескольких (многих) переменных - обнаружить у себя симптомы болезней (нескольких или даже многих), о которых человек прочёл. Впрочем, случай не такой уж и нематематический. Если условиться считать, что закон, которым задаётся функция, заключается в суммировании чисел, означающих число симптомов, а на выходе - число, которое следует толковать как степень нервного истощения героя. У этой функции есть и область определения - множество симптомов всех болезней, которые можно найти в справочниках.


Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру t в пункте p земной поверхности P. Таким образом, возникает температурная функция , аргументом которой является точка p поверхности P, а значением t = T(p) - температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку p характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например, широтой и долготой . После этого вместо t = T(p) пишут , где теперь t, , - числа. И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных - и , поэтому такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция трёх переменных: две первые (, ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя - H - задаёт высоту, на которой оно выполняется.

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.

Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных .

Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных, а с помощью частных производных можно найти экстремумы функции нескольких переменных - у нас показано нахождение экстремумов функции двух переменных.

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной.

Множество D называется областью определения функции z, а множество Eмножеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Область определения функции нескольких переменных

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f(xy), то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y, для которых выражение f(xy) имеет смысл и принимает действительные значения. Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной. Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n-мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n-й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число:

если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y.

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;

если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции - вся плоскость x0y.

Область определения функции - вся плоскость x0y.

Область определения функции - вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения функции - вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции - множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции - множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции - вся плоскость x0y.

Область определения функции - вся плоскость x0y.

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c, то область определения функции - вся плоскость x0y.

Пример 1. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Умножаем всё неравенство на и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Переносим икс в правую часть и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 3. Найти область определения функции двух переменных S = xy и частное значение этой функции при при x = 3, y = 5.

Решение. Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами  и , которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет

Пример 4. Найти область и построить область определения функции двух переменных .

Решение. Область определения заданной функции двух переменных найдём из равенства т.е.

Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции является верхняя половина сферы .

Разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z: и (рис. выше).

Функции нескольких переменных - пример из экономики

Пример 5. Рассмотрим производственную функцию (двухфакторную модель экономического роста)

где - национальный доход за год t; a – показатель приведения к единому масштабу продукции, затрат фондов и труда, оценивающий влияние на рост национального дохода неучтённых в модели факторов; - объём проиводственных фондов; - затраты живого труда в сфере материального производства; - показатели эластичности роста национального дохода в зависимости от роста производственных фондов и живого труда. Функция является функцией двух переменных:


Весь блок "Производная"