"Чистая"
и прикладная математика

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Любую систему линейных уравнений можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Если обозначим отдельно матрицу коэффициентов при неизвестных, матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

,

тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Всё по теме "Системы уравнений и неравенств"
Начало темы "Линейная алгебра"

Поделиться с друзьями