"Чистая"
и прикладная математика

МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ

Множество натуральных чисел

Множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Множество действительных чисел

Множество комплексных чисел

Группы, поля, кольца

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел образуют числа 1, 2, 3, 4, ..., используемые для счёта предметов. Множество всех натуральных чисел принято обозначать буквой N:

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}.

Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Иногда к натуральным числам добавляют 0, тогда он будет наименьшим элементом.

Законы сложения натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения.

2. Для любых натуральных чисел abc верно равенство (a + b) + c = a + (b + c). Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом сложения.

Законы умножения натуральных чисел

3. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом умножения.

4. Для любых натуральных чисел abc верно равенство (ab)c = a(bc). Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом умножения.

5. При любых значениях abc верно равенство (a + b)c = ac + bc. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения).

6. При любых значениях a верно равенство a*1 = a. Это свойство называют законом об умножении на единицу.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Или, говоря иначе, эти операции можно выполнить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так, из числа 3 нельзя, оставаясь во множестве натуральных чисел, вычесть число 7; число 15 нельзя разделить на 4 нацело.

Признаки делимости натуральных чисел

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Эти условия, как для суммы, так и для произведения, являются достаточными, но не необходимыми. Например, произведение 12*18 делится на 36, хотя ни 12, ни 18 на 36 не делятся.

Признак делимости на 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была чётной.

Признак делимости на 5. Для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.

Признак делимости на 10. Для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того, чтобы натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры были 00, 04, 08 или двузначное число, образованное последними двумя цифрами данного числа, делилось на 4.

Признак делимости на 2 (на 9). Для того, чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).

Множество целых чисел

Рассмотрим числовую прямую с началом отсчёта в точке O. Координатой числа нуль на ней будет точка O. Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными числами. Пусть на числовой прямой задана точка A с координатой 3. Она соответствует положительному числу 3. Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки O, в направлении, противоположном заданному. Тогда получим точку A', симметричную точке A относительно начала координат O. Координатой точки A' будет число - 3. Это число, противоположное числу 3. Числа, расположенные на числовой прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными числами.

Числа, противоположные натуральным, образуют множество чисел N':

N' = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...}.

Если объединить множества N, N' и одноэлементное множество {0}, то получим множество Z всех целых чисел:

Z = {0} ∪ N ∪ N'.

Для целых чисел верны все перечисленные выше законы сложения и умножения, которые верны для натуральных чисел. Кроме того, добавляются следующие законы вычитания:

a - b = a + (- b);

a + (- a) = 0.

Множество рациональных чисел

Чтобы сделать выполнимой операцию деления целых чисел на любое число, не равное нулю, вводятся дроби:

, где a и b - целые числа и b не равно нулю.

Если к множеству целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей, то получается множество рациональных чисел Q:

.

При этом каждое целое число является также рациональным числом, так как, например, число 5 может быть представлено в виде , где числитель и знаменатель - целые числа. Это бывает важно при операциях над рациональными числами, из которых одно может быть целым числом.

Законы арифметических действий над рациональными числами

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной:

.

Это свойство используется при сокращении дробей.

Сложение дробей. Сложение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для сложения дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю. На практике при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю. Например, так:

.

Для сложения дробей с одинаковыми числителями достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Умножение дробей. Умножение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для умножения дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Деление дробей. Деление обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для деления дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и произведение записать в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и произведение записать в знаменатель новой дроби.

Возведение дроби в степень с натуральным показателем. Эта операция определяется следующим образом:

.

То есть, для возведения дроби в степень числитель возводится в эту степень и знаменатель возводится в эту степень.

Периодические десятичные дроби

Теорема. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Например,

.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а конечная или бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической.

При этом любую конечную десятичную дробь считают бесконечной периодической дробью с нулём в периоде, например:

Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел - также рациональное число.

Множество действительных чисел

На числовой прямой, которую мы рассмотрели в связи с множеством целых чисел, могут быть точки, не имеющие координат в виде рационального числа. Так, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, число не является рациональным числом. Так же не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 5, 7, 9. Следовательно, иррациональными являются числа , , . Иррациональным является и число .

Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде периодической дроби. Их представляют в виде непериодических дробей.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел R.

Аксиомы о действиях над действительными числами

Аксиомы сложения. Для любых abc из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:

I. a + b = b + a.

II. (a + b) + c = a + (b + c).

III. a + 0 = a.

IV. Для любого a ∈ R существует такое число b ∈ R, что a + b = 0. Это число b называется противоположным числу a и обозначается - a.

Аксиома IV позволяет ввести операцию вычитания в множестве действительных чисел: под разностью a - b понимается сумма a + (- b).

Аксиомы умножения. Для любых abc из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:

V. ab = ba.

VI. (ab)c = a(bc).

VII. a*1 = a.

VIII. Для любого отличного от нуля числа a ∈ R существует такое число b ∈ R, что ab = 1. Это число b называется обратным числу a и обозначается .

IX. (a + b)c = ac + bc.

Аксиома VIII позволяет ввести операцию деления в множестве действительных чисел: под понимается произведение , где b ≠ 0.

Аксиома Архимеда. Для любых положительных действительных чисел a и b существует такое натуральное число n, что na > b.

Множество комплексных чисел

Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть

 + 1 = 0.

Решение будет следующим:  = - 1, x =√-1,

здесь √-1 - квадратный корень из минус единицы - мнимая единица, обозначаемая буквой i.

Числа вида a+bi (abR) составляют множество комплексных чисел C.

Комплексные числа и операции над ними обладают таким количеством замечательных свойств, что они рассмотрены в отдельных материалах нашего сайта:

Группы, поля, кольца

Непустое множество (чаще всего чисел) называется алгебраической структурой, если на нём определены какие-либо операции, которые обладают определёнными свойствами. В математике чаще всего рассматриваются такие алгебраические структуры, как группы, поля и кольца.

Группы

Группой называется конечное или бесконечное множество (чаще всего чисел), на котором:

1) определена операция (например, умножение), которую можно выполнить, не выходя за пределы группы;

2) для элементов множества выполняется сочетальный (ассоциативный) закон (для любых abc верно равенство (ab)c = a(bc)).

3) существует так называемый единичный элемент e;

4) для каждого элемента a из этого множества существует обратный элемент такой, что , при этом единственный.

Если в группе выполняется переместительный (коммутативный) закон (для любых a и b верно равенство ab = ba), то такую группу называют коммутативной или абелевой группой.

Группу, в которой определена операция умножения, называют мультипликативной группой. Если операцией группы является сложение, то группу называют аддитивной. В этом случае в качестве единичного элемента фигурирует такой элемент z, а для каждого элемента a существует единственный противоположный элемент (- a), для которого выполняется (- a) + a = a + (- a) = z.

Натуральные числа N образуют группу в отношении умножения. Сложение как операцию группы на множестве натуральных чисел выполнять не удаётся, так как нуль находится за пределами множества N. Множество положительных действительных чисел является группой в отношении умножения, а множество всех действительных чисел R - группой в отношении сложения (на этом множестве нельзя ввести число, обратное нулю).

Поля

Множество называют полем, если в этом множестве по меньшей мере два элемента и для них

1) определена операция сложения;

1') определена операция умножения;

2) для сложения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

2') для умножения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

3) для сложения выполнятся переместительный (коммутативный) закон;

3') для умножения выполняется переместительный (коммутативный) закон;

4) выполнима операция вычитания;

4') выполнима операция деления, кроме деления на нуль.

Для любых элементов поля a и b найдётся такой элемент x, что a + x = b.

Для любых элементов поля a и b найдётся такой элемент y, что a * y = b, если a ≠ 0.

Для поля в силе распределительный (дистрибутивный) закон умножения (относительно сложения): (a + b)c = ac + bc.

Кольца

У множеств комплексных чисел, действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел есть общая особенность: в них можно выполнять операции сложения, умножения и вычитания, оставаясь в границах множества.

Каждое множество чисел, которое содержит сумму, произведение и разность любых двух своих чисел, называется кольцом.

Кольцо образуют, например, чётные числа. В свою очередь нечётные числа не образуют кольцо, так как сумма нечётных чисел - чётное число.


Алгебраические структуры часто называют просто "алгебрами". Их используют в абстрактном моделировании. В частности, они могут быть применены в программировании. Например, когда нужно определить свойства и правила какой-либо структуры и установить запрет на добавление в эту структуру элемента, которое (добавление) нарушило бы свойства и правила для этой структуры.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Материал "Множества и операции над множествами"

К началу страницы