"Чистая"
и прикладная математика

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов.

В предыдущих параграфах рассматривались ряды, члены которых имели одинаковые знаки, а для определённости считались положительными. Теперь откажемся от этого ограничения и будем считать, что члены ряда могут иметь различные знаки. Такие ряды называются знакопеременными.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов выделим их частный случай – так называемые знакочередующиеся ряды. Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Например, знакочередующимся является ряд

  (20)

Если первый член знакочередующегося ряда положителен, то этот ряд можно записать в виде

  (21)

а если отрицателен – виде

  (22)

Причём в обоих рядах - абсолютные величины членов знакочередующегося ряда. Ряд (22) можно рассматривать как произведение ряда (21) на – 1, а поэтому, согласно теореме 1 параграфа «Свойства сходящихся рядов», эти ряды ведут себя одинаково, т.е. или оба сходятся, или оба расходятся. Следовательно, не нарушая общности рассуждений, будем считать первый член знакочередующегося ряда положительным.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.


Теорема (признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (21) убывают, т.е.

                          (23)

и предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.


Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.


Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

 

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.


Признак Лейбница является признаком условной сходимости.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

                  (24)

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.


Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.


Для определения сходимости знакопеременного ряда обычно исследуют сходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов знакопеременного ряда.


Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится. В свою очередь, по признаку Лейбница, ряд сходится. Следовательно, данный ряд является условно сходящимся.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Начало темы "Ряды"

Числовые ряды

Достаточные признаки сходимости рядов - признак сравнения и признак Даламбера

Радикальный признак Коши, интегральный признак Коши

Продолжение темы "Ряды"

Функциональные ряды

Степенные ряды

Ряды Фурье