"Чистая"
и прикладная математика

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ РЯДОВ, ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Признак сравнения

Признак Даламбера

Признак сравнения рядов и признак Даламбера являются достаточными признаками сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда.

Признак сравнения


Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

причём члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго, т.е.

                (18)

Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда – расходимость второго.

Замечание. Условие (18) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами. Достаточно, чтобы оно выполнялось начиная с некоторого номера k или чтобы имели место неравенства

где m – некоторое целое число.


Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.


Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как

то члены данного ряда меньше членов

 

сходящегося ряда (2) (его сходимость доказана в примере 1). На основании признака сравнения и приведённого выше замечания данный ряд также сходится.


Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд с гармоническим рядом (4). Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:

поскольку

Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды


Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие (18). Для сравнения часто используются геометрические ряды при различных значениях q, гармонический ряд, ряд и др.  

Признак Даламбера

Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

  • число в степени,
  • факториал,
  • цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдуший член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения... Впрочем, перейдём к научной форме изложения признака Даламбера.


Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n + 1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, т.е.

                         (19)

Тогда: а) если , то ряд сходится; б) если , то ряд расходится; в) если , то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.


Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

и, следовательно,

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.


Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Следовательно,

В силу признака Даламбера ряд расходится.


Пример 6. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, имеем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 имеем ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.


Пример 7. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Так как

а

то

Поэтому

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем

Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда, сходимость которого доказана в примере 2 параграфа «Понятие о числовом ряде», и, значит, данный ряд сходится.


Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Начало темы "Ряды"

Числовые ряды

Достаточные признаки сходимости рядов - признак сравнения и признак Даламбера

Радикальный признак Коши, интегральный признак Коши

Продолжение темы "Ряды"

Знакочередующиеся ряды

Функциональные ряды

Степенные ряды

Ряды Фурье