"Чистая"
и прикладная математика

РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Признаки Коши являются достаточными признаками сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Если, конечно, использование этих признаков обосновано.

Для использования радикального признака Коши нужно уметь уверенно находить пределы, для использования интегрального признака Коши - несобственные интегралы.

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши применяется, когда выражение общего члена находится в степени, зависящей от n. Например, .

Пусть существует предел

.

Тогда

если , то ряд сходится,

а если , то ряд расходится.

Если же , то ничего определённого о сходимости ряда сказать нельзя: радикальный признак Коши здесь не годится и нужно использовать другой признак.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Так как , ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

Так как , ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда,

если интеграл сходится, то сходится и ряд ;

если же интеграл расходится, то и ряд также расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как интеграл сходится при и расходится при , то, согласно интегральному признаку Коши, и данный ряд сходится при и расходится при .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Начало темы "Ряды"

Числовые ряды

Признак сравнения, признак Даламбера

Продолжение темы "Ряды"

Знакочередующиеся ряды

Функциональные ряды

Степенные ряды

Ряды Фурье