"Чистая"
и прикладная математика

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Понятие о числовом ряде

Сумма ряда

Понятие сходимости рядов

Свойства сходящихся рядов

Необходимый признак сходимости

Понятие о числовом ряде

Первое знакомство с числовыми рядами у наших читателей состоялось в средней школе при изучении арифметической прогрессии и геометрической прогрессии. Из этих уроков Вы узнали, что для задания этих последовательностей необходимо определить закон нахождения каждого члена последовательности, обычно записываемый в виде формулы.

Если - бесконечная последовательность чисел, то формально записанное выражение

                (1)

называется бесконечным рядом (или просто рядом). Многоточие в конце (иногда шутят, что в нём-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть "бесконечная" сумма.

Короче ряд (1) можно записать в виде ,

где индексы внизу и вверху символа суммы означают, что нужно взять сумму чисел , когда n принимает целочисленные значения от 1 до ∞.

Числа называются членами ряда, а член ряда, стоящий на n-м месте от начала, - его общим членом.

Примерами рядов могут служить:

            (2)

                            (3)

                                     (4)

Задать ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член (ещё раз вспомните школьные уроки об арифметической и геометрической прогрессиях). Ряд задаётся формулой общего члена. Например, если , то тем самым определён следующий ряд:

                                (5)

если то получим ряд

                                (6)

Если в дальнейшем будем говорить, что дан ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.

Пример 1. Записать первые пять членов ряда, если дана формула его общего члена:

.

Решение. Подставляем в формулу вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5. Получаем:

Пример 2. Записать формулу общего члена ряда, если даны пять его первых членов:

Решение. Ищем закономерность образования членов ряда. Нетрудно заметить, что знаменатель является числом 3 в некоторой степени. Для первого члена ряда степень равна нулю, то есть 1 - 1, для второго члена степень равна 1, то есть 2 - 1, для пятого - 4, то есть 5 - 1. Следовательно, степень числа три равна n - 1. В свою очередь, в числителе число всегда на 2 меньше 3n. Следовательно, формула общего члена ряда:

Сумма ряда

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определённый числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не может ни человек, ни компьюьтер, поскольку процесс сложения членов ряда (по самому определению) никогда не кончается.

Таким образом, выражение (1) является формальным, ведь сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но тем не менее в этом выражении поставлен знак суммирования и подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие ряду некоторое число и назвать его суммой ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Приближенные суммы ряда (1)

называются частичными суммами.

То есть, сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой:

                             (7)

Частичные суммы имеют конечное число слагаемых, это «обычные» суммы, их можно найти, подсчитать. Для ряда получаем бесконечную последовательность его частичных сумм.

Понятие сходимости рядов

Если значения частичных сумм при неограниченном возрастании n, то есть, при стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел

                                          (8)

то ряд называется сходящимся.

Это число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать такое равенство:

                       (9)

Пример сходящегося ряда:

Не для всякого ряда последовательность его частичных сумм стремится к определённому пределу. Например, для ряда

частичные суммы принимают попеременно значения 1 и 0:

Если предел последовательность частичных сумм ряда не существует, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.


Пример 3.  Исследовать сходимость ряда (2) .

Решение. Составим частичные суммы ряда:

Представим их в виде

 

Нетрудно заметить закономерность в образовании частичных сумм: каждая представляет разность между единицей и дробью, числитель которой 1, а знаменатель n-й частичной суммы равен n + 1, т.е.

Найдём предел последовательности частичных сумм:

Следовательно, ряд (2) сходится, его последовательность равна 1.


Исследуем сходимость ряда (3):

который называется геометрическим, так как его члены представляют собой члены геометрической прогрессии, первый член которой равен a, а знаменатель q. Рассмотрим частичную сумму этого ряда:

Она равна сумме членов геометрической прогрессии, если

т.е.

Найдём предел последовательности частичных сумм геометрического ряда. Следует различать четыре возможности:

1)

2)   

3)

4)

1. Если то , поэтому

2. Если то не существует, значит и последовательность частичных сумм не имеет предела.

3. Если q =1, то имеем ряд a + a + a +...+ ... . Его n-я частичная сумма

при

в зависимости от знака a.

4. Если q = - 1, то имеем ряд

Его частичные суммы попеременно равны a и 0:

и т.д. Но такая последовательность не имеет предела.

Итак, геометрический ряд (3) сходится, если

причём его сумма равна

и расходится, если

     


Пример 4. Исследовать сходимость рядов:

                     (*)

             (**)

              (***)   

 
             (****)

Решение. Это геометрические ряды. Для ряда (*)

для ряда (**)

для ряда (***) q = 4/3; для ряда (****) q = - 1. Следовательно, первые два ряда сходятся, а последние два расходятся.


Ряд

                (10)

членами которого служат члены ряда (1), начиная с (m + 1)-го, и записаны в том же порядке, как и в (1), называется m-м остатком ряда (1).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд с общим членом . Тогда ряд с общим членом , т.е.

         (11)

Называют произведением ряда (1) на число c. Сходимость ряда (1) гарантирует сходимость и его произведения на число c. Это устанавливается следующей теоремой.


Теорема 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на число c также сходится и имеет сумму, равную S, т.е.

                               (12)

Следовательно, общий множитель членов сходящихся рядов можно выносить за скобки, имея при этом в виду выполнение равенства (12).

Пусть даны два ряда с общими членами и :

     (13)

       (14)

Тогда ряд с общим членом

называют суммой этих рядов, т.е.

         (15)


Теорема 2. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна

где и - суммы слагаемых рядов, т.е.

             (16)

Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать, имея при этом в виду для суммы рядов выполнение равенства (16), а для разности рядов – равенства


Теорема 3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд также сходится.


Таким образом, на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов. В ряде можно отбрасывать или прибавлять к нему любое конечное число членов. От этого сходимость (или расходимость) ряда не нарушается, но меняется его сумма.

Если сходимость ряда установлена на основании определения сходимость, то одновременно будет найдена и его сумма. Так мы поступили при исследовании сходимости рядов (2) и (3). Однако таким способом решить вопрос о сходимости ряда часто бывает весьма трудно. Поэтому используют другой способ, который даёт возможность лишь установить факт сходимости (расходимости) ряда, так как сумму сходящегося ряда можно всегда найти с любой степенью точности, подсчитав сумму достаточно большого числа его первых членов.

Признаки сходимости рядов даны в следующем параграфе.   

Необходимый признак сходимости


Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при

равен нулю, т.е.

                        (17)


Следствие. Если предел общего члена ряда при

не равен нулю, то ряд расходится.


Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член ряда

Найдём его предел при

:

Следовательно, данный ряд расходится.

Итак, если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е. выполняется условие (17). Однако выполнение условия (17) не гарантирует сходимости ряда, оно не является достаточным для этого. Есть расходящиеся ряды, пределы общих членов которых при

равны нулю. Примером такого ряда служит ряд (4):

который называется гармоническим. Последовательность его частичных сумм

монотонно возрастает, поскольку члены ряда положительны. Покажем, что она возрастает неограниченно. Для этого члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы:

В первую включим два члена (3-й и 4-й), во вторую

члена (с 5-го по 8-й), в третью

членов (с 9-го по 16-й) и т.д, каждый раз увеличивая вдвое число членов в группе. Таких групп, очевидно, бесконечное множество. Если заменить члены ряда в каждой группе их последними членами, то сумма членов этой группы уменьшится, т.е справедливы неравенства

Таким образом, сумма членов каждой группы больше 1/2, а сумма членов, включённых в достаточно большое число групп, как угодно велика. Следовательно, последовательность частичных сумм гармонического ряда неограниченно возрастает, а ряд расходится, хотя его общий член

при

стремится к нулю.

Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают хотя и ограниченно, но медленно.

Исследование сходимости ряда обычно начинают с проверки выполнения условия (17), чтобы сразу выделить расходящиеся ряды, для которых это условие не выполняется. Однако выполнение этого условия говорит лишь о том, что ряд может сходиться. Сходится он или расходится, должно показать дополнительное исследование с помощью достаточных признаков, рассмотрение которых дано в последующих параграфах.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Продолжение темы "Ряды"

Достаточные признаки сходимости рядов - признак сравнения и признак Даламбера

Радикальный признак Коши, интегральный признак Коши

Знакочередующиеся ряды

Функциональные ряды

Степенные ряды

Ряды Фурье