"Чистая"
и прикладная математика

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Обратной матрицей  для данной квадратной матрицы А называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
.                (1)

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы существует обратная, и притом только одна. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

,             (2)

где
-
определитель матрицы А , а - матрица, присоединённая к матрице А.

Присоединённой к квадратной матрице A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, если


Пример. Найти матрицу, обратную матрице


Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, присоединённую к данной матрице А .

Найдём матрицу

,

транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы присоединённой матрицы:

Следовательно, матрица

,

присоединённая к матрице A, имеет вид

 

 

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А :

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Начало темы "Матрицы"

Понятие матрицы

Произведение матриц

Произведение матрицы на число, сумма матриц

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений