Компьютеры
и программирование

РЕЛЯЦИОННАЯ АЛГЕБРА, ОПЕРАЦИИ РЕЛЯЦИОННОЙ АЛГЕБРЫ

Реляционная алгебра - это язык операций, выполняемых над отношениями - таблицами реляционной базы данных. Операции реляционной алгебры позволяют на основе одного или нескольких отношений создавать другое отношение без изменения самих исходных отношений. Полученное другое отношение обычно не записывается в базу данных, а существует в результате выполнения SQL-запроса - массиве, создаваемом функциями для работы с базами данных в языках программирования. Для каждой операции реляционной алгебры будет дана её реализация в виде запросов на языке SQL.

Рассмотрим операции реляционной алгебры. Чтобы Вам не отвлекаться на содержание таблиц не Ваших баз данных, таких как "Продукты", "Водители", "сливы", "груши", "чай", "кофе", Владимиры, Сергеи и т.п. будем выполнять операции над отношениями (таблицами) с абстрактными данными, такими как R1, R2 (названия таблиц - отношений) и т.д. и А1, А2, А3 (названия атрибутов - столбцов) и h15, w11 и т.п. (содержание записей таблиц базы данных).

Основы реляционной алгебры - математическая теория множеств и операции над множествами.

Приоритеты выполнения операций реляционной алгебры (в порядке убывания пунктов списка, а в одном пункте - операции с равными приоритетами):

  • селекция, проекция
  • декартово произведение, соединение, пересечение, деление
  • объединение, разность.

Операция выборки

Операция выборки работает с одним отношением и определяет результирующее отношение R, которое содержит только те кортежи (или строки, или записи), отношения , которые удовлетворяют заданному условию (предикату P).

Таким образом, операция выборки - унарная операция - и записывается следующим образом:

,

где P - предикат (логическое условие).

Запрос SQL

SELECT * from R3 WHERE A3>'d0'

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. В таблице ниже дано одно отношение, с которым работает эта операция.

R3
A1A2A3A4
3hhylms
4ppa1sr
1rrylms

Просматриваем столбец А3 и устанавливаем, что предикату A3>'d0' удовлетворяют записи в первой и третьей строках исходного отношения (так как номер буквы y в алфавите больше номера буквы d). В результате получаем следующее новое отношение, в котором две строки:

R
A1A2A3A4
3hhylms
1rrylms

Комбинировать всевозможные логические условия для выборок Вам поможет материал "Булева алгебра (алгебра логики)".

А в материалах раздела "Программирование PHP/MySQL" Вы найдёт немало примеров комбинаций различных логических условий для выборок из базы данных.

Операция проекции

Операция проекции () работает, как и операция выборки, только с одним отношением и определяет новое отношение R, в котором есть лишь те атрибуты (столбцы), которые заданы в операции, и их значения.

Запрос SQL

SELECT DISTINCT A4, A3 from R3

Пусть вновь дано то же отношение R3:

R3
A1A2A3A4
3hhylms
4ppa1sr
1rrylms

Из исходного отношения выбираем только столбцы А4 и А3 и видим, что строки со значениями - первая и третья - идентичны. Исключаем дубликат (за это отвечает ключевое слово DISTINCT в SQL-запросе, которое говорит, что нужно выбрать только уникальные записи) и получаем следующее новое отношение, в котором два атрибута и две строки (записи):

R
A4A3
msyl
sra1

Операция объединения

Результатом объединения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть или во множестве А или во множестве В. Говоря упрощённо, все элементы множества А и множества В, за исключением дубликатов, образующихся за счёт того, что некоторые элементы есть и в первом, и во втором множестве. Операция объединения реляционной алгебры идентична операции объединения множеств, которая также описана в материале "Множества и операции над множествами".

Запрос SQL

SELECT A1, A2, A3 from R1 UNION SELECT A1, A2, A3 from R2

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Теперь даны два отношения, так как операция объединения - бинарная операция:

R1R2
A1A2A3A1A2A3
Z7aaw11X8ppk21
B7hhh15Q2eeh15
X8ppw11X8ppw11

Объединяем строки первого и второго отношения и видим, что третья строка, которая является третьей и в первом, и во втором отношении - идентичны, поэтому её включаем в новое отношение только один раз. Получаем следующее отношение:

R
A1A2A3
Z7aaw11
B7hhh15
X8ppw11
X8ppk21
Q2eeh15

Важно следующее: операция объединения может быть выполнена только тогда, когда два отношения обладают одинаковым числом и названиями атрибутов (столбцов), или, говоря формально, совместимы по объединению.

Операция пересечения

Результатом пересечения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть и во множестве А, и во множестве В. Операция пересечения реляционной алгебры идентична операции пересечения множеств, которая также описана в материале "Множества и операции над множествами".

Запрос SQL

SELECT A1, A2, A3 from R1 INTERSECT SELECT A1, A2, A3 from R2

В некоторых диалектах SQL отсутствует ключевое слово INTERSECT. Его заменой, например, в MySQL, является INNER JOIN.

Запрос MySQL

SELECT * from R1 INNER JOIN R2 WHERE
   R1.A1 = R2.A1 AND
   R1.A2 = R2.A2 AND
   R1.A3 = R2.A3

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

R1R2
A1A2A3A1A2A3
Z7aaw11X8ppk21
B7hhh15Q2eeh15
X8ppw11X8ppw11

Просматриваем все записи в двух отношениях, и обнаруживаем, что и в первом, и во втором отношении есть одна строка - та, которая является третьей и в первом, и во втором отношении. Получаем новое отношение:

R
A1A2A3
X8ppw11

Операция разности

Разность двух отношений R1 и R2 () состоит из кортежей (или записей, или строк), которые имеются в отношении R1, но отсутствуют в отношении R2. Отношения R1 и R2 должны быть совместимы по объединению. Операция разности реляционной алгебры идентична операции разности множеств, которая также описана в материале "Множества и операции над множествами".

Запрос SQL

SELECT A1, A2, A3 from R2 EXCEPT
SELECT A1, A2, A3 from R1

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

R1R2
A1A2A3A1A2A3
Z7aaw11X8ppk21
B7hhh15Q2eeh15
X8ppw11X8ppw11

Из отношения R2 исключаем строку, которая есть также в отношении R2 - третью - и получаем новое отношение:

R
A1A2A3
X8ppw11
Q2eeh15

Операция декартова произведения

Операция декартова произведения () определяет новое отношение R, которое является результатом конкатенации каждого кортежа отношения R1 с каждым кортежем отношения R2.

Запрос SQL

SELECT * from R3, R4

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

R3R4
A1A2A3A4A5A6
3hhylms3hh
4ppa1sr4pp
1rrylms

В новом отношении должны присутствовать все атрибуты (столбцы) двух отношений. Сначала первая строка отношения R3 сцепляется с каждой из двух строк отношения R4, затем вторая строка отношения R3, затем третья. В результате должно получиться 3 Х 2 = 6 кортежей (строк). Получаем такое новое отношение:

R
A1A2A3A4A5A6
3hhylms3hh
3hhylms4pp
4ppa1sr3hh
4ppa1sr4pp
1rrylms3hh
1rrylms4pp

Операция деления

Результатом операции деления () является набор кортежей (строк) отношения R1, которые соответствуют комбинации всех кортежей отношения R2. Для этого нужно, чтобы в отношении R2 была часть атрибутов (можно и один), которые есть в отношении R1. В результирующем отношении присутствуют только те атрибуты отношения R1, которых нет в отношении R2.

Запрос SQL

SELECT DISTINCT A1, A4 from R5 WHERE
NOT EXIST (SELECT * from R6 WHERE NOT EXIST
R6.A2 = R5.A2 AND
R6.A3 = R5.A3)

Давайте посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R5 и R6:

R5R6
A1A2A3A4A2A3
2S34sunR48
3X87kabX87
3R48kab

Комбинации всех кортежей отношения R6 соответствуют вторая и третья строки отношения R5. Но после исключения атрибутов (столбцов) А2 и А3 эти строки становятся идентичными. Поэтому в новом отношении присутствует эта строка один раз. Новое отношение:

R
A1A4
3kab

Операция тета-соединения

В результате этой операции получается отношение, которое содержит кортежи из декартова произведения отношений R1 и R2 удовлетворяющие предикату Р. Значением предиката Р может быть один из операторов сравнения (<, <=, >, >=, = или !=).

Запрос SQL

SELECT * from R3, R4 WHERE A1>=A5

Посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

R3R4
A1A2A3A4A5A6
3hhylms3hh
4ppa1sr4pp
1rrylms

Это таблицы (отношения) из главы о декартовом произведении. Выполняем операцию декартового произведения. Видим, что условию предиката Р удовлетворяет один кортеж декартового произведения - первый (так как 3>=3). Получаем следующее новое отношение:

R
A1A2A3A4A5A6
3hhylms3hh

Ещё в разделе Реляционные базы данных - Создание базы данных

Весь раздел Программирование PHP/MySQL, в материалах которого немало примеров комбинаций различных операций реляционной алгебры

Материал "Булева алгебра", который поможет Вам комбинировать логические условия в SQL-запросах

Поделиться с друзьями