"Чистая"
и прикладная математика

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение дискретной случайной величины и закон её распределения

Функция распределения дискретной случайной величины

Биномиальное распределение

Распределение Пуассона

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Определение дискретной случайной величины и закон её распределения

На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и т. д. до некоторого конечного числа n. К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и т. д. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств.

Случайные величины делятся на дискретные (или прерывные) и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством, то есть в этом случае можно установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n.

Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

Функция p(x), связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Его удобно задавать в следующем виде:

Значение...
Вероятность...

называемом рядом распределения дискретной случайной величины.

События являются несовместимыми и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Искомая случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Сумма выигрыша
-100
900
2900
Вероятность
0,94
0,04
0,02

Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х. Чтобы вычислить F(х), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х.

Пример 2. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Длительность брака (лет)ЧислоВероятностьF(x)
0
10
0,002
0,002
1
80
0,013
0,015
2
177
0,029
0,044
3
209
0,035
0,079
4
307
0,051
0,130
5
335
0,056
0,186
6
358
0,060
0,246
7
413
0,069
0,314
8
432
0,072
0,386
9
402
0,067
0,453
10 и более
3287
0,547
1,000
Всего
6010
1

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F(x) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение - одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях.

Условия биномиального распределения:

  • в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
  • событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p;
  • испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

,

где p - вероятность наступления события А;

q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события .

Интегральную функцию, т.е. вероятность F(m) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, можно вычислить по формуле:

.

Пример 3. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

Продано в деньЧисло днейВероятность
10
8
0,08
11
12
0,12
12
19
0,19
13
23
0,23
14
18
0,18
15
20
0,20
Всего
100
1,00

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А - день будет отработан с прибылью, - без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

,

где ,

,

,

.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

,

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона - случай биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Условия распределения Пуассона:

  • вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени;
  • вероятность наступления события стремится к нулю;
  • вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

,

где m число наступления события A;

- среднее значение распределения Пуассона;

e=2,7183 - основание натурального логарифма.

Пример 4. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, ... вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Составить полное впечатление о дискретной случайной величине только по закону распределения часто бывает весьма трудно. Поэтому возникает необходимость характеризовать дискретную случайную величину с помощью некоторых постоянных величин, полученных на основе её закона распределения.

Среди них наиболее важной является математическое ожидание. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

По аналогии с рассмотренным примером вводится понятие математического ожидания (или среднего значения) дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание дискретной случайной величины будем обозначать

. Таким образом,

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение XВероятность
-0,1
0,1
-0,01
0,2
0
0,4
0,01
0,2
0,1
0,1
Значение YВероятность
-20
0,3
-10
0,1
0
0,2
10
0,1
20
0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

.

Пример 6. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y, как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е(х)=Е(y)=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

,

.

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

.

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Начало темы "Теория вероятностей"

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности и формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли