"Чистая"
и прикладная математика

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины и его характеристики

Определение непрерывной случайной величины, функция её распределения и плотность вероятности

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Равномерное распределение

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Определение непрерывной случайной величины, функция её распределения и плотность вероятности

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств.

Случайные величины делятся на дискретные (или прерывные) и непрерывные.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [ab]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [ab], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:

или

.

Из этого получено, что

Интеграл в этом равенстве выражает вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала . Но это событие достоверное, а поэтому его вероятность равна единице.

Пример 1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А, вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X.

Решение. По условию приходим к равенству

.

Но

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 2. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X, которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

Решение. По определению плотности вероятности получаем

при и при , поскольку F(x) для этих значений x постоянна (равна нулю).

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох, графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b.

Из этого выводятся следующие свойства функции плотности вероятности:

  • значение функции f(x) положительное число, которое за пределами существования распределения равно нулю;
  • площадь фигуры, которую ограничивают график функции f(x) и ось Ох, равна одной единице: .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Распределение непрерывной случайной величины можно характеризовать средними значениями, а также показателями вариации и другими показателями.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием, обозначаемым или .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, плотностью вероятности которой является функция f(x), находится как величина интеграла

,

если он сходится абсолютно.

Дисперсией называется величина интеграла

,

если он сходится.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

Пример 3. Дана непрерывная случайная величина. Её плотность вероятности при и при остальных значениях x. Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Сначала определим параметр с. Разбивая отрезок интегрирования на части, получаем

так как остальные два интеграла равны нулю вследствие равенства нулю плотности вероятности на этих интервалах. Следовательно,

,

откуда .

При находим математическое ожидание искомой случайной величины:

(пределы интегрирования 0 и 10 установлены по тем же соображениям, что и при нахождении параметра с). Дисперсию вычисляем при a=5 и f(x)=0,1:

Равномерное распределение

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Функция распределения непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения:

  • среднее значение (математическое ожидание) ;
  • дисперсия ;
  • стандартное отклонение ;
  • верояность того, что значение непрерывной случайной величины будет в заданном интервале , где .

Пример 4. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

.

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины представляет собой такое распределение, функция плотности которого следующая:

,

где x - значение изменяющейся величины, - среднее значение, - стандартное отклонение, e=2,71828... - основание натурального логарифма, =3,1416...

На рисунке ниже представлена функция плотности нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. На ней столбцы гистограммы представляют собой значения выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета.

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Свойства функции плотности нормального распределения

  • для всех значений аргумента функция плотности положительна;
  • если аргумент стремится к бесконечности, то функция плотности стреится к нулю;
  • функция плотности симметрична относительно среднего значения: ;
  • наибольшее значение функции плотности - у среднего значения: ;
  • кривая функции плотности выпукла в интервале и вогнута на остальной части;
  • мода и медиана нормального распределения совпадает со средним значением;
  • нормальное распределение симметрично, поэтому коэффициент ассиметрии A = 0.

Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox. Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.

Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении - ниже.

Интегральная функция нормального распределения:

.

Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение, среднее значение которого , а стандартное отклонение .

Функция плотности стандартизованного нормального распределения:

.

Интегральная функция стандартизованного нормального распределения:

.

На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле

.

На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s. Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.

Практически в любом учебнике статистики в приложениях в конце книги можно найти таблицы значений функции плотности стандартизованного нормального распределения и интегральной функции. Чтобы использовать эти значения, нужно вычислить стандартизованное значение изменяющейся величины. Функция

позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z, где z - произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.

Пример 5. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.

Для случайно отобранной детали вычислим вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов. Чтобы вычислить эту вероятность, используя таблицы, случайную величину нужно сначала стандартизовать. Затем можно использовать соответствующее значение интегральной функции из таблиц. Получаем:

Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.

Начало темы "Теория вероятностей"