"Чистая"
и прикладная математика

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием основных правил теории вероятностей - правила сложения и правила умножения.

Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A, которое может наступить только с каждым из n исключающих друг друга событий , образующих полную систему, если известны их вероятности , а условные вероятности события A относительно каждого из событий системы равны .

События также называются гипотезами, они являются исключающими друг друга. Поэтому в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H (hypothesis).

Для решения задач с такими условиями необходимо рассмотреть 3, 4, 5 или в общем случае n возможностей наступления события A - с каждым событий . По теоремам сложения и умножения вероятностей получаем сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы. То есть, вероятность события A может быть вычислена по формуле

или в общем виде

,

которая и называется формулой полной вероятности.

Пример 1. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности, найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие A - появление белого шара. Выдвигаем три гипотезы:

- выбрана первая урна;

- выбрана вторая урна;

- выбрана третья урна.

Вероятности этих гипотез (событий):

.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяя формулу полной вероятности, получаем:

.

Пример 2. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим искомую вероятность приобретения стандартной электролампочки через A, а события, заключающиеся в том, что приобретённая лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах, через . По условию известны вероятности этих событий: , , и условные вероятности события A относительно каждого из них: , , . Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии её изготовления соответственно на первом, втором, третьем заводах.

Искомое событие A наступит, если произойдут или событие K - лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна, или событие L - лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна, или событие M - лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна. Других возможностей наступления события A нет. Следовательно, событие A является суммой событий K, L и M, которые являются несовместимыми. Применяя теорему сложения вероятностей, представим вероятность события A в виде

а по теореме умножения вероятностей получим

то есть, частный случай формулы полной вероятности.

Подставив в левую часть формулы значения вероятностей, получаем вероятность события A:

Пример 3. Производится посадка самолёта на аэродром. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, пользуясь, помимо приборов, ещё и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, то лётчик сажает самолёт, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна ; . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надёжность (вероятность безотказной работы) P. При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна ; . Статистика показывает, что в k% случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A - благополучной посадки самолёта.

Решение. Гипотезы:

- низкой облачности нет;

- низкая облачность есть.

Вероятности этих гипотез (событий):

;

.

Условная вероятность .

Условную вероятность снова найдём по формуле полной вероятности с гипотезами

- приборы слепой посадки действуют;

- приборы слепой посадки отказали.

Вероятности этих гипотез:

;

.

По формуле полной вероятности

.

Отсюда

.

Пример 4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а ненормальный - в 20% случаев. Вероятность выхода прибора из строя за определённое время t равна 0,1; в ненормальном 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.

Решение. Вновь обозначаем вероятность выхода прибора из строя через A. Итак, относительно работы прибора в каждом режиме (события ) по условию известны вероятности: для нормального режима это 80% (), для ненормального - 20% (). Вероятность события A (то есть, выхода прибора из строя) в зависимости от первого события (нормального режима) равна 0,1 (); в зависимости от второго события (ненормального режима) - 0,7 (). Подставляем эти значения в формулу полной вероятности (то есть, сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы) и получаем

.

Пример 5. По объекту производится три одиночных (независимых) выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором 0,5, при третьем 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трёх попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трёх выстрелов объект будет выведен из строя.

Решение. Обозначаем вероятность вывода объекта из строя через A.

Гипотезы:

- в объект попал один снаряд;

- в объект попали два снаряда;

- в объект попали три снаряда.

Находим вероятность гипотез. Событие представим в виде суммы трёх несовместных вариантов:

= {первый выстрел попал, второй и третий не попали}+ {второй выстрел попал, первый и третий не попали}+{третий выстрел попал, второй и первый не попали}.

Применяя правила сложения и умножения вероятностей, получаем:

Аналогично

.

Условные вероятности события A при этих гипотезах равны

;

;

.

По формуле полной вероятности находим:

Формула Байеса

Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса, называемая также формулой гипотез.

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно было сделать ряд гипотез (в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H), несовместных и образующих полную группу. Вероятности гипотез до опыта (называемые также априорными вероятностями) заданы и равны

.

Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате появилось событие A.

Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?

Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие A (или как часто говорят, найти апостериорные вероятности).

Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.

То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение "одного ко всем":

.

Видим, что знаменатель в этой формуле - ничто иное, как полная вероятность события A, а числители для каждого отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому суммы, находящейся в знаменателе.

Формула Байеса может быть также записана в виде

.

Пример 6. Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй - 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение. Гипотезы:

- выбрана первая урна;

- выбрана вторая урна;

- выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез раны:

.

В результате опыта появилось событие A - из выбранной урны вынут белый шар.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:

;

;

.

Пример 7. Пример с теми же лампочками, что и в примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом заводе, на втором, на третьем.

Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе - полная вероятность собыия A.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна:
.

Вычисляя по формуле Байеса, получаем:

- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе
;

- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе
;

- вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе
.

Пример 8. До опыта об его условиях можно было сделать четыре гипотезы: , , , с вероятностями, равными, соответственно

;

;

;

.

В результате опыта появилось событие A, которое невозможно при гипотезах , и достоверно при гипотезах , . Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. Условные вероятности гипотез:

;

.

По формуле Байеса получаем:

;

;

.

Пример 9. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: , , , . Согласно статистике вероятности гипотез составляют

;

;

;

.

Осмотр места катастрофы выявляет, что в её ходе произошло событие A - воспламенение горючего. Условные вероятности события A при гипотезах , , , , согласно той же статистике равны

;

;

;

.

Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. По формуле Байеса получаем:

.

;

;

.

Пример 10. В учреждении три чиновника готовят копии документов. Первый чиновник () обрабатывает 40% всех форм, второй () – 35%, третий () – 25%. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0,04, у второго – 0,06, у третьего – 0,03. В конце дня, выбрав случайно один из подготовленных документов, руководитель констатировал, что в нём есть ошибка (событие A). Пользуясь формулой Байеса, выяснить, какова вероятность, что ошибку допустил первый чиновник, второй, третий.
Решение. Обозначим события и их вероятности:
: {документ подготовил первый чиновник}
: {документ подготовил второй чиновник}
: {документ подготовил третий чиновник}
A: {в документе допущена ошибка}


Событие

0,40

0,04

0,0160

0,36

0,35

0,06

0,0210

0,47

0,25

0,03

0,0075

0,17

Всего

1,00

-

0,0445

1,00

По формуле Байеса находим:

Итак, вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, составляет 0,36, второй – 0,47, третий – 0,17.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Независимые испытания и формула Бернулли

Распределение вероятностей дискретной случайной величины и его характеристики